Syllabus Inleiding Analyse

Syllabus Inleiding Analyse (WISB 111, 2006)

Terug naar de home page.

In de onderstaande lijst wordt een gedetailleerde opsomming gegeven van de onderwerpen die in de cursus Inleiding Analyse behandeld worden.

Hoofdstuk 1: Limieten en continuiteit

standaardinproduct in R^n, ongelijkheid van Cauchy-Schwartz, Euclidische norm en afstand, driehoeksongelijkheden
definitie limiet functie R^n > D --> R^p met epsilon, delta; meetkundige formulering met bolletjes
eenduidigheid limiet, som-, product-, quotientregel, substitutieregel, insluitstelling, componentsgewijs limiet nemen
definitie en rekenregels continuiteit; rationale functies
definitie differentieerbaarheid van functies R --> R^p
rekenregels voor differentieerbaarheid: som, product, quotient, componentsgewijs differentieren, kettingregel
Appendices: kwadratische functies, notaties verzamelingenleer

Hoofdstuk 2: Open en gesloten verzamelingen

def continuiteit van een functie R^n > D --> R^p; niveauverzamelingen zijn gesloten in domein D
def metrische ruimte, open en gesloten verzameling
def limiet en continuiteit voor afbeeldingen tussen metrische ruimten
doorsneden en verenigingen van open en gesloten verz
karakterisering continuiteit met volledige originelen van open en gesloten verzamelingen
generalizatie rekenregels limieten naar metrische ruimten
appendix: linker- en rechterlimiet, oneigenlijke limiet

Hoofdstuk 3: Rijen en volledigheid

definitie rij, limiet van een rij in een metrische ruimte
N \cup \{\infty\} als metrische ruimte, rekenregels voor limieten van rijen
x^2 = 2 heeft geen rationale oplossing
axioma van volledigheid van R met nest van segmenten
oneindig voortlopende decimale ontwikkelingen, definitie \sqrt 2
2e formulering volledigheid: convergentie van monotoon stijgende naar boven begrensde rij
convergentie reeks voor e, irrationaliteit van e
def begrippen max, min, sup, inf
3e formulering volledigheid met bestaan sup
de tussenwaardestelling voor continue functies
definitie van de functies x --> \sqrt[n]{x}

Hoofdstuk 4: Maxima en minima

4e formulering volledigheid: Bolzano-Weierstrass in R^n
definitie rij-compactheid in metrische ruimte
rij-compacte delen van R^n zijn de gesloten en begrensde delen
behoud rij-compactheid onder continue afbeeldingen tussen metrische ruimten
continue scalaire functie op gesloten en begrensd deel van R^n neemt max en min aan
continue functies voeren segmenten in segmenten over
partiele afgeleiden, stationair punt
definitie lokaal extreem; inwendig punt: lokaal extreem impliceert stationair
definitie uniforme continuiteit; relatie continuiteit en uniforme continuiteit; equivalentie op rij-compacte verzamelingen
definitie Cauchy rij in een metrische ruimte
5e formulering volledigheid mbv Cauchy rijen
toepassing: absolute convergentie van reeks in R impliceert convergentie

Hoofdstuk 5: Inversen van functies van een variabele

karakterisering intervallen in R; continue functies voeren intervallen over in intervallen
continue functie op interval is injectief desda strikt monotoon
inverse van injectieve continue functie $f: R> I --> R$ is continu

Hoofdstuk 6: Middelwaardestellingen

Hoofdstuk 7: Integratie

def verdeling van interval I; boven- en ondersom van begrensde f: I \to \R$ bij verdeling; fijnere verdeling, gemeenschappelijke verfijning
def onder- en bovenintegraal als sup en inf boven en ondersommen
definitie Riemann-integreerbaarheid
rekenregels Riemann-integreerbaarheid: lineariteit, monotonie, aaneenschakeling intervallen; Riemann's criterium
Riemann integreerbaarheid van continue functie op segment idem van begrensde functie met eindige discontinuiteitsverzameling
def primitieve, hoofdstelling van de integraalrekening
substitutie stelling en partiele integratie
driehoeksongelijkheid voor integralen
definitie Riemann-som; criterium voor integratie in termen van Riemann som

Laatste wijziging: 12/8-2005