De informatie hier is nog niet volledig en ook niet definitief.

Vakbeschrijving: Het college Lichamen en Galoistheorie (WISB224) is een van de colleges over het deel van de wiskunde dat algebra genoemd wordt. Andere algebracolleges zijn Inleiding Groepen en Ringen (WISB124) en Groepen, Modulen en Voorstellingen (WISB223) en de colleges over Lineaire Algebra. WISB124 maakt deel uit van de vereiste voorkennis. WISB223 is nuttig, maar niet vereist.
Het eerste deel van dit college bestaat uit de theorie van lichamen en lichaamsuitbreidingen. Lichamen zijn commutatieve ringen met een 1 die niet 0 is en waarin je door elk element ongelijk 0 kunt delen. De gehele getallen vormen dus geen lichaam. Voorbeelden van lichamen zijn de rationale getallen, de reële getallen, de complexe getallen en de gehele getallen modulo een priemgetal p. Maar er zijn nog vele andere.
De volgende begrippen komen ter sprake: lichaamsuitbreidingen, algebraïsche uitbreidingen, constructies met passer en (ongemarkeerde) liniaal, splijtlichamen en algebraïsche afsluitingen, separabele en inseparabele uitbreidingen, cyclotomische polynomen en uitbreidingen.

Het tweede deel, Galoistheorie, komt voort uit klassieke problemen in de wiskunde. Bijvoorbeeld constructieproblemen met passer en liniaal (zoals trisectie van een hoek) en het probleem van de oplossing van hogeregraadsvergelijkingen. Door studie van de achterliggende symmetrieën (Galoisgroepen) kunnen we vaak tot een oplossing van deze problemen komen. De theorie van lichamen is hier essentieel.
Naast de Hoofdstelling van de Galoistheorie komen de volgende onderwerpen ter sprake: eindige lichamen, enkelvoudige en samengestelde uitbreidingen, cyclotomische en abelse uitbreidingen van de rationale getallen, Galoisgroepen van polynomen, oplosbare en radicale uitbreidingen, de onoplosbaarheid van een algemene vijfdegraadsvergelijking, de berekening van Galoisgroepen, transcendente uitbreidingen, en oneindige Galoisgroepen.

Doel: Je leert werken met abstracte begrippen als lichaam, lichaamsuitbreiding, splijtlichaam, Galoisgroep, en de Galoiscorrespondentie, en ziet daarvan toepassingen op getaltheoretische, algebraïsche en meetkundige problemen.

Cursusmateriaal: We volgen het boek Abstract Algebra (third edition) van David S. Dummit en Richard M. Foote. Dit boek wordt ook gebruikt bij Inleiding Groepen en Ringen (WISB124) en Groepen, Modulen en Voorstellingen (WISB223). We behandelen de hoofdstukken 13 en 14.

Tijd en plaats: De cursus begint op 8 februari. Alle colleges zijn online. De hoorcolleges vinden plaats op maandagen van 9:00 tot 10:45 en dinsdagen van 17:15 tot 19:00. Docent: Carel Faber.
De werkcolleges vinden plaats op maandagen en woensdagen van 11:00 tot 12:45. De practicumleiders zijn Yuqing Shi (y.shi@uu.nl) en Mieke Wessel (m.e.wessel@students.uu.nl).

Beoordeling: Het eindcijfer wordt bepaald door 80% van het tentamen (maandag 12 april van 11:30 tot 14:30; volgens de huidige plannen zal dit plaatsvinden in Educatorium Megaron en Ruppert Paars, dus niet online; het is natuurlijk mogelijk dat dit nog verandert) en 20% van de inleveropgaven, met dien verstande dat je voor het tentamen minimaal een 5 haalt. Voor de herkansing (datum nog niet bekend gemaakt) tellen de inleveropgaven niet meer mee en telt alleen het tentamen.

Hier komt een indicatie van wat er per hoorcollege behandeld zal worden.
De opgaven genoemd bij de hoorcolleges van dinsdagen horen natuurlijk bij de werkcolleges op de daaropvolgende woensdagen.
Maandag 8 februari: 13.1. Opgaven: 13.1: 1--8.
Dinsdag 9 februari: 13.2. Opgaven: 13.2: 1--10.
Maandag 15 februari: 13.3. Opgaven: 13.3: 1--5; 13.2: 11--15.
Dinsdag 16 februari: 13.4. Opgaven: 13.4: 1--6, 13.2: 16--19.
Huiswerkopgave voor de komende week: 13.2.20 en 13.2.21. Opmerking bij 13.2.20: Het karakteristieke polynoom van een matrix wordt gedefinieerd op p. 473 van het boek; waarschijnlijk ken je het. De stelling van Cayley en Hamilton zegt dat een matrix voldoet aan zijn karakteristieke polynoom; vergelijk pagina's 474 en 478. Je mag deze stelling gebruiken.
Inleveren uiterlijk woensdag 24 februari voor het begin van het werkcollege.
Maandag 22 februari: 13.5. Opgaven: 13.5: 1--11.
Dinsdag 23 februari: 13.6. Opgaven: 13.6: 1--10.
Maandag 1 maart: 14.1. Opgaven: 14.1: 1--10.
Dinsdag 2 maart: begin 14.2. Opgaven: 14.2: 1--6.
Huiswerkopgave voor de komende week: 14.2.11 en 14.2.12.
Inleveren uiterlijk vrijdag 12 maart 23:59 uur (elektronisch).
Maandag 8 maart: eind 14.2, 14.3. Opgaven: 14.3: 1--4, 14.2: 7, 9, 13, 14.
Dinsdag 9 maart: 14.4. Opgaven: 14.2: 15 (zie 13.2: 8), 14.3: 6 (merk op dat tenminste twee van b, c, d ongelijk nul moeten zijn), 7, 8 (zie 13.5: 5), 9.
Maandag 15 maart: 14.5. Opgaven: 14.2: 16--22, 14.3: 11.
Dinsdag 16 maart: 14.5, begin 14.6. Opgaven: 14.4: 1, 2. 14.5: 2--7, 1 (eventueel met uitzondering van zeta + zeta^{-1}).

Derde inleveropgave: opgegeven via Blackboard op 18 maart 2021. Inleveren uiterlijk zondag 28 maart 23:59 uur (elektronisch).

Maandag 22 maart: 14.6, begin 14.7. Opgaven: 14.6: 1--3, 14.5: 10, 13, 11. M.b.t. 14.5:11: merk op: we hebben het juiste aantal primitieve eenheidswortels, dus ze vormen een basis precies dan als ze lineair onafhankelijk zijn en ook precies dan als ze de vectorruimte opspannen. Opgave 14.5:6 laat zien dat de som 0 kan zijn; dit geeft één implicatie. De andere implicatie volgt uit het geval n is priem door eigenschappen van composita te gebruiken (laat zien dat de primitieve eenheidswortels de vectorruimte opspannen).
Dinsdag 23 maart: 14.7. Opgaven: 14.6: 4, 5, 11, 8, en 10. Opgaven 8 en 10 vereisen kleine berekeningen.

Vierde inleveropgave: opgegeven via Blackboard op 27 maart 2021. Inleveren uiterlijk dinsdag 6 april 23:59 uur (elektronisch).

Maandag 29 maart: 14.8. Opgaven volgen nog.
Dinsdag 30 maart: eventuele uitloop en samenvatting. Opgaven volgen nog.
Maandag 5 april: Tweede Paasdag. Geen college.
Dinsdag 6 april: Herhaling en oefenen voor het tentamen.