Hier is het HERTENTAMEN.

Vakbeschrijving: Het eerste deel van dit college bestaat uit de theorie van de ringen. Voorbeelden van ringen zijn de gehele getallen en de veeltermen. Maar er zijn nog vele andere. Het ringbegrip omvat alle gemeenschappelijke eigenschappen van systemen waarop we een optelling en een vermenigvuldiging hebben. De volgende begrippen komen ter sprake: ringhomomorfismen, idealen, polynomen, priemidealen, maximale idealen, en veel voorbeelden.

Het tweede deel, Galoistheorie, komt voort uit klassieke problemen in de wiskunde. Bijvoorbeeld constructieproblemen met passer en liniaal (zoals trisectie van een hoek) en het probleem van de oplossing van hogeregraads vergelijkingen. Door studie van de achterliggende symmetrieën (Galoisgroepen) kunnen we vaak komen tot een oplossing van deze problemen. Belangrijk hierbij is de theorie van de lichamen (systemen met optelling, vermenigvuldiging en deling). De volgende begrippen komen ter sprake: lichaamsuitbreidingen, constructies, Galoiscorrespondentie, oplosbaarheid, eindige lichamen.

Doel: Je leert werken met abstracte begrippen als ring, ideaal, quotiënt en lichaamsuitbreiding, en ziet daarvan toepassingen op getaltheoretische, algebraïsche en meetkundige problemen.

Cursusmateriaal: We volgen het dictaat Rings and Galois Theory 2020, verkrijgbaar bij A-eskwadraat. Het dictaat van 2020 is in principe gelijk aan dat van 2018, maar het bevat minder tikfouten.

Tijd en plaats: De cursus begint op 3 februari. Het hoorcollege vindt plaats op maandagen en woensdagen van 9u00 tot 10u45 uur in MIN 2.01. Docent: Carel Faber.
De werkcolleges vinden direct na het hoorcollege plaats. Voorlopig in twee groepen: Groep 1 (achternaam beginnend met A t/m K, BBG 223 op maandagen, BBG 169 op woensdagen) en Groep 2 (achternaam beginnend met L t/m Z, BBG 169 op maandagen, BBG 161 op woensdagen). De practicumleiders zijn André Beuckelmann (groep 1, a.beuckelmann@students.uu.nl) en Jack Davies (groep 2, j.m.davies@uu.nl). De studentassistenten zijn Ludo Dekker (groep 1, l.j.dekker@uu.nl) en Jasper Oostlander (groep 2, j.d.oostlander@students.uu.nl).

Beoordeling: Het eindcijfer wordt bepaald door 80% van het tentamen (dinsdag 7 april, Educatorium, Theatron, 17:00 - 20:00) en 20% van de inleveropgaven, met dien verstande dat je voor het tentamen minimaal een 5 haalt. Voor de herkansing (maandag 29 juni, BBG 223, 09:00 - 12:00) tellen de inleveropgaven niet meer mee en telt alleen het tentamen.

Wekelijks schema:

• Maandag 3 februari
  Hoorcollege: Introductie Ringen. Dictaat: 1.1 en 1.2.
  Werkcollege: Dictaat 1.5: 1, 2, 3, 5, 8, 11, 12, 14.
• Woensdag 5 februari
  Hoorcollege: Ringconstructies, ringhomomorfismen en idealen. Dictaat: 1.3, 2.1 en 2.2.
  Werkcollege: Dictaat 1.5: 13, 17, 9; midden p. 20: 1, 3; 1.6: 1, 4, 5, 8.
  Huiswerkopgave voor de komende week: 1.5.18 en 1.5.19 (hier mag je Venn-diagrammen gebruiken). Inleveren uiterlijk woensdag 12 februari voor het begin van het werkcollege.
  
• Maandag 10 februari
  Hoorcollege: Idealen, restklassen, isomorfiestelling. Dictaat: 2.1 en 2.2.
  Werkcollege: Dictaat 2.4: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9.
• Woensdag 12 februari
  Hoorcollege: Rekenen met idealen, Chinese reststelling en toepassingen. Dictaat: 2.3.
  Werkcollege: Dictaat 2.4: 11, 15, 16, 20, 21, 23, 24.
  
• Maandag 17 februari
  Hoorcollege: Polynoomringen, hoofdideaalringen, irreducibele elementen, uniek ontbindingsdomein. Dictaat: 3.1, 3.2 en 3.3.
  Werkcollege: Dictaat: 3.5: 1, 2, 5, 3 (Hint: noem de som aan de rechterzijde g en toon aan dat f en g in de n+1 punten α_i dezelfde waarden aannemen), 4, 7, 10, 6 (Een nilpotent element r in een ring is een element waarbij een positief geheel getal k bestaat zo dat r^k=0).
  Huiswerkopgave voor de komende week: 2.4.14 (I.p.v. (c): Bewijs dat de verzameling eenheden gegeven is door a+bε met a ongelijk 0) en 2.4.18 (je kunt het resultaat van (c) informeel lezen als "R/J isomorf met (R/I)/(J/I)"). Inleveren uiterlijk woensdag 26 februari voor het begin van het werkcollege.
• Woensdag 19 februari
  Hoorcollege: Ontbinding van polynomen, uniek ontbindingsdomein, Lemma van Gauss, ontbinding in Z[X].
  Dictaat: 4.1, 4.2 en 4.3.
  Werkcollege: Opgaven: 4.6.1, 4.6.3, 4.6.4, 4.6.11 (alleen de vierde niet, hint bij de tweede: in Z/pZ geldt (a+b)^p =a^p+b^p), 4.6.15, 4.6.2.
• Maandag 24 februari
  Hoorcollege: Unieke ontbindingsdomeinen, ontbinding in Z[X], criterium van Eisenstein. Begin maximale idealen en priemidealen. Dictaat: 4.4, 4.5, 5.1 en 5.2.
  Werkcollege: Het Eisenstein criterium geldt niet alleen in Z[X] en een priem p, maar ook in een ring R[X] met R ontbindingsdomein en een irreducibel element π (zie Def 4.5.1 en Stelling 4.5.2). Dit kun je toepassen op Q[X,Y], gezien als polynoomring in Y en coefficienten in Q[X].
  Opgaven: 4.6.7, 4.6.8, 4.6.9, 4.6.13, 4.6.14, 5.5.1, 5.5.3, 5.5.5 (alleen met priemidealen), 5.5.6 (alleen met priemidealen), 5.5.9.
  
• Woensdag 26 februari
  Hoorcollege: Maximale idealen en priemidealen afmaken. Lichaamsuitbreidingen. Dictaat: 5.2, 5.3, 6.1 en 6.2.
  Werkcollege: Opgaven 5.5.5 en 5.5.6 voor maximale idealen, 5.5.10, 5.5.14, 5.5.15, 5.5.16, 5.5.25.
  
• Maandag 2 maart
  Hoorcollege: Lichaamsuitbreidingen (vervolg). Dictaat: 6.2 en 6.3.
  Werkcollege: Dictaat 6.6.4, 6.6.5, 6.6.6, 6.6.7, 6.6.12, 6.6.13, 6.6.15, 6.6.18.
  Huiswerkopgave voor de komende week: Eisenstein, priemidealen. Inleveren uiterlijk woensdag 11 maart voor het begin van het werkcollege.
• Woensdag 4 maart
  Hoorcollege: Afmaken Hoofdstuk 6. Constructies met passer en liniaal. Dictaat: 6.4, 6.5 en 7.1.
  Werkcollege: Dictaat 6.6.9, 6.6.10, 6.6.14, 6.6.16, 7.2.1, 6.6.21.
  
• Maandag 9 maart
  Hoorcollege: Splijtlichaam, Galoisgroep. Dictaat: 8.1 en 8.2.
  Werkcollege: 7.2.2, 7.2.3, 9.5.13, 8.4.1, 8.4.2, 8.4.4, 6.6.22, 6.6.23.
  
• Woensdag 11 maart
  Hoorcollege: Galois-uitbreidingen, Galoiscorrespondentie. Dictaat: 8.3, 9.1 en 9.2.
  Werkcollege: Opgave 1.3 van Extra opgaven, 8.4.5, 8.4.6, 8.4.7, 9.5.14.
  
• Maandag 16 maart
  Hoorcollege: Hoofdstelling Galoistheorie, voorbeelden. Dictaat: 9.2, 9.3 en 9.4.
  Werkcollege: 9.5.1, 9.5.2, 9.5.6.
  Huiswerkopgave voor de komende week: Galoisgroepen. Inleveren uiterlijk woensdag 25 maart voor het begin van het werkcollege.
• Woensdag 18 maart
  Hoorcollege: Radicale uitbreidingen, oplosbare uitbreidingen, de vijfdegraadsvergelijking. Dictaat: 10.3 en 10.4.
  Werkcollege: 9.5.4, 9.5.10, 9.5.15.
  
• Maandag 23 maart
  Hoorcollege: Eindige lichamen. Dictaat: 11.1.
  Werkcollege: 11.2.1, 11.2.2, 11.2.3, 11.2.4.
  
• Woensdag 25 maart
  Hoorcollege: Uitwerking geselecteerde opgaven.
  Werkcollege: Afmaken opgaven vorige keren.
• Maandag 30 maart
  Hoorcollege: Uitwerking geselecteerde opgaven.
  Werkcollege: Vragenuur.
• Woensdag 1 april
  Hoorcollege: Uitwerking geselecteerde opgaven.
  Werkcollege: Vragenuur.
• Dinsdag 7 april
  TENTAMEN 7 april, Educatorium, Theatron, 17:00 - 20:00.
  Tentamenstof: Hoofdstukken 1 t/m 11 van het dictaat, behalve 1.4, 1.6, 5.3, 5.4, 10.1, 10.2. Ook word je geacht de opgaven van het werkcollege te kunnen maken.
  In het Tentamenarchief van het Mathematisch Instituut en het Aes-kwadraat archief vind je een grote voorraad oude tentamens.
  

  Hier zijn een aantal recente tentamens: 6 april 2017, 5 juli 2017, 11 april 2018, 4 juli 2018, 10 april 2019, 3 juli 2019.

Hier zijn de uitwerkingen van drie van de vier meest recente tentamens: 11 april 2018, 10 april 2019, 3 juli 2019. Belangrijk: Kijk pas naar de uitwerking van een opgave als je "alles" geprobeerd hebt. Neem het dictaat en je aantekeningen erbij, zoek definities en resultaten op die van toepassing zijn, kijk hoe bepaalde voorbeelden uitgewerkt worden, enz., en probeer de opgave dan opnieuw. Als je te gauw naar de uitwerking kijkt, leer je er naar mijn mening weinig van. Dit geldt dit jaar nog sterker dan anders, omdat het tentamen "open boek" zal zijn vanwege de omstandigheden.

Meer over het tentamen: de regeling (zoals die o.a. is rondgestuurd via de Wisper) geldt. Lees deze regeling alvast goed door. Vrijwel alle punten zijn van belang; daarom heeft het geen zin om een samenvatting te proberen te maken. Diverse dingen worden van jullie gevraagd; zorg ervoor dat je deze ruim van te voren in orde gemaakt hebt.

Hier is het HERTENTAMEN.