Analyse in meer variabelen

Heinz Hanßmann, Douwe Hoekstra, Juri Sampieri Bjornsson

blok 4	tijd	plaats
hoorcollege	maandag 11:00 - 12:45 dinsdag 17:15 - 19:00 woensdag 11:00 - 12:45	BBG 083 HFG 611AB BBG 023
werkcollege	maandag 9:00 - 10:45 dinsdag 17:15 - 19:00 woensdag 9:00 - 10:45	BBG 083 HFG 611AB BBG 023

ECTS : 7.5 studiepunten

In de 3de week zijn op woensdag (6 maart) het werkcollege in BBG 169 en het hoorcollege in MIN 202 en vanaf de 4de week zijn ze (op woensdagen) allebei in BBG 001. Vanaf 18 mei (de 5de week) zijn de colleges op maandagen allebei in HFG 611AB. Met de colleges op dinsdag avond (vanaf de 2de week) halen we met name de vele feestdagen deze blok in, afwisselend hoorcollege en werkcollege.

Dit vak behandelt diverse aspecten van de anlyse in meerdere reële variabelen; de onderwerpen zijn reeds aangeroerd bij het college Infinitesimaalrekening. Daar lag echter de nadruk op het werken en rekenen met de begrippen, terwijl hier de nadruk ligt op het begrijpen, formuleren en bewijzen. Er worden in deze cursus ook nieuwe onderwerpen aangeboord die een andere kijk op de analyse geven dan de infinitesimaalrekening en die fundamenteel zijn voor een verdere opbouw van de analyse. Het vak is voorkennis voor de richtingen differentiaalmeetkunde, partiële differentiaalvergelijkingen en dynamische systemen.

Onderwerpen die aan de orde komen zijn

Totale afgeleide in meerdere veranderlijken, ook hogere orde

Stellingen over inverse en impliciete afbeeldingen

Deelvariëteiten en representatie m.b.v. immersies en submersies

Raakruimten aan deelvariëteiten

Integratie in Rⁿ

Stelling van Fubini, herhaalde integratie en verwisseling van integratievolgorde

Substitutiestelling, differentiaalvormen

Integratie over een deelvariëteit van Rⁿ

Divergentiestelling van Gauß en rotatiestelling van Stokes

Na afronding van de cursus kent de student de bovenstaande definities en de uitspraken en bewijsideeën van de bovenstaande stellingen. Verder is de student in staat om de definities en stellingen op voorbeelden toe te passen.

Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken: tijdens het werkcollege en met name ook thuis; voor het laatste (ook) de inleveropgaves. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaves worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald. Het eindcijfer is dan C = min(max((I+2M)/3, M-1), M+1), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen.

Tentamen (pdf, ps) en hertentamen gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.

Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.

Literatuur

Bij het college wordt gebruik gemaakt van een dictaat in twee delen, verkrijgbaar bij de dictaatverkoop van A-Eskwadraat.

Het vak analyse staat centraal in elke wiskundeopleiding en er zijn talloze boeken verschenen, waaronder:

H.W. Broer

Meetkunde en Fysica

Epsilon Uitgaven 44 (1999)

J. Dieudonné

Foundations of Modern Analysis

Academic Press (1960)

J.J. Duistermaat & J.A.C. Kolk

Multidimensional real analysis, I Differentiation, II Integration

Cambridge Studies in Advanced Mathematics 86 & 87

Cambridge University Press (2004)

K.A. Kortram & A. van Rooi

Analyse, functies van meer veranderlijken

Epsilon Uitgaven 16 (1990)

T. Tao

Analysis II

Hindustan Book Agency (2014)

Rooster

Opgaves zonder `0.' ervoor (of met `9.' ervoor) zijn uit het diktaat, de anderen zijn uit het boek van Hans Duistermaat en Joop Kolk. Achter toekomstige data staat alvast wat ongeveer aan de orde zal komen.

20.4. Werkcollegeopgaves 1, 2, 1.1, 1.46. Overzicht, stelling van Dini, afgeleide.

22.4. Werkcollegeopgaves 2.8, 2.62, 3, 2.26, inleveropgaves 2.24, 2.37. Gradiënt, Hesseaan, Taylorformule.

28.4. Inverteerbare afbeeldingen. GL(E) open in L(E), contractiestelling.

29.4. Werkcollegeopgaves 3.4, 3.6, 3.24, 26, inleveropgaves 31, 4.22(i)-(v). Impliciete-functie-stelling, toepassingen, constante rang stelling.

4.5. Werkcollegeopgaves 29, 3.36, 3.32, 3.37. Vereenvoudiging stationaire punten, Morse lemma, hyperboloïden.

6.5. Werkcollegeopgaves 51, 4.17, 52, 36, inleveropgaves 53, 3.11. Differentieerbare variëteiten. Deelvariëteiten, immersies.

11.5. Werkcollegeopgaves 34, 35, 3.45, 22. Kiem, submersies. Raakruimte.

12.5. Onafhankelijkheid van keuzes, algebraïsche karakterizering, meetkundige karakterizering. Zelf lezen: Lagrange multiplicatoren.

13.5.Werkcollegeopgaves 59, 4.5, 4.30, 4.29, inleveropgaves 4.13, 55. Raakbundel, differentiaalvormen, stroming.

18.5. Werkcollegeopgaves 60, 4.12, 54, 5.75. Uitwendige afgeleide van 1-vormen. Integreren, μ-verwaarloosbaar.

19.5. Werkcollegeopgaves 5.16, 5.17, 48, 5.58.

20.5. Werkcollegeopgaves 9.2, 9.4, 9.5, 5.76, inleveropgaves 9.14, 9.6. L¹(Ω, μ), limietstellingen, differentiatiestelling.

26.5. Gebeurtenisruimte, stelling van Fubini, Riemann-integreerbaar.

27.5. Werkcollegeopgaves 9.9, 9.8, 9.12, 9.11, inleveropgaves 9.17, 9.35. Substituëren, lineaire substituties, bewijs van de substitutiestelling.

1.6. Werkcollegeopgaves 9.55, 9.56. 9.54, 9.38. Lemma van Sard. Differentiaalvormen. Multilineaire algebra.

2.6. Werkcollegeopgaves 9.58, 9.57, 9.45, 25.

3.6. Werkcollegeopgaves 6.8, 6.12, 6.19, 49, inleveropgaves 6.24, 7.15(i)-(v). Lijnintegraal, uitwendige afgeleide van k-vormen, stelling van Stokes, Zelf lezen: lemma van Poincaré.

8.6. Werkcollegeopgaves 9.24, 9.28, 8.25, 9.43. Divergentiestelling van Gauß. Integratie over een deelvariëteit van Rⁿ, Euclidische dichtheid, Zelf doorwerken: voorbeelden van Euclidische dichtheden (in diktaat en/of boek van je keuze, bv. sectie 7.4 in het boek van Hans Duistermaat en Joop Kolk).

9.6. Domein (aan één kant van de gladde rand), partiële integratie, de warmtevergelijking.

10.6. Werkcollegeopgaves 7.7, 9.46, 7.32, 7.9. Stelling van Green, integraalformule van Cauchy, deelvariëteit met rand.

15.6. Werkcollegeopgaves 7.42, 7.41, 9.48, 8.44. Normaalbundel, rotatiestelling van Stokes, bewijs van de rotatiestelling van Stokes.

16.6. Werkcollegeopgaves (pdf, ps) uit het tentamen vorig jaar.

17.6. Werkcollegeopgaves 8.3, 8.8, 9.50, 8.14. Open vragen? Aanbevolen opgaves: 8.39, 8.11, 8.41.