Analyse in meer variabelen

Heinz Hanßmann, Yann Guggisberg, Marco Nervo




blok 4 tijd plaats
hoorcollege maandag 11:00 - 12:45 HFG 611AB
bonuscollege dinsdag 17:15 - 19:00 BBG 023
hoorcollege woensdag 11:00 - 12:45 BBG 079
werkcollege maandag 9:00 - 10:45 HFG 611AB
werkcollege woensdag 9:00 - 10:45 BBG 001

ECTS : 7.5 studiepunten




In het begin was het hoorcollege in BBG 209 en BBG 065, één keer in BBG 001 en vaak in BBG 079. Vanaf juni zijn de zalen voor het hoorcollege met HFG 611AB op maandagen en BBG 023 op woensdagen constant.




Dit vak behandelt diverse aspecten van de anlyse in meerdere reële variabelen; de onderwerpen zijn reeds aangeroerd bij het college Infinitesimaalrekening. Daar lag echter de nadruk op het werken en rekenen met de begrippen, terwijl hier de nadruk ligt op het begrijpen, formuleren en bewijzen. Er worden in deze cursus ook nieuwe onderwerpen aangeboord die een andere kijk op de analyse geven dan de infinitesimaalrekening en die fundamenteel zijn voor een verdere opbouw van de analyse. Het vak is voorkennis voor de richtingen differentiaalmeetkunde, differentiaalvergelijkingen en dynamische systemen.

Onderwerpen die aan de orde komen zijn

  • Totale afgeleide van vector-waardige functies van meerdere veranderlijken, ook hogere orde
  • Inverse en impliciete functiestelling
  • Deelvariëteit van Rn en representatie m.b.v. immersies en submersies
  • Raakruimten aan deelvariëteiten
  • Integratie in Rn
  • Stelling van Fubini, herhaalde integratie en verwisseling van integratievolgorde
  • Substitutiestelling
  • Integratie over een deelvariëteit van Rn
  • Stellingen van Gauß, Green en Stokes
  • Na afronding van de cursus kent de student de bovenstaande definities en de uitspraken en bewijsideeën van de bovenstaande stellingen. Verder is de student in staat om de definities en stellingen op voorbeelden toe te passen.

    Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken: tijdens het werkcollege en met name ook thuis; voor het laatste (ook) de inleveropgaves. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaves worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald. Het eindcijfer is dan C = min(max((I+2M)/3, M-1), M+1), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen.

    Tentamen (pdf, ps) en hertentamen (pdf, ps) gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.

    Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.




    Literatuur


    Bij het college wordt gebruik gemaakt van een dictaat in twee delen, verkrijgbaar bij de dictaatverkoop van A-Eskwadraat.

    Het vak analyse staat centraal in elke wiskundeopleiding en er zijn talloze boeken verschenen, waaronder:

    H.W. Broer
    Meetkunde en Fysica
    Epsilon Uitgaven 44 (1999)

    J. Dieudonné
    Foundations of Modern Analysis
    Academic Press (1960)

    J.J. Duistermaat & J.A.C. Kolk
    Multidimensional real analysis, I Differentiation, II Integration
    Cambridge Studies in Advanced Mathematics 86 & 87
    Cambridge University Press (2004)

    K.A. Kortram & A. van Rooi
    Analyse, functies van meer veranderlijken
    Epsilon Uitgaven 16 (1990)

    T. Tao
    Analysis II
    Hindustan Book Agency (2014)




    Rooster

    Hier zal ik de behandelde onderwerpen bijhouden; achter nog te corrigeren data staat alvast wat aan de orde zal komen. Opgaves zonder `0.' ervoor (of met `9.' ervoor) zijn uit het diktaat, de anderen zijn uit het boek van Hans Duistermaat en Joop Kolk.

    22.4. Werkcollegeopgaves 1, 0.17, 1.1, 1.14. Overzicht, stelling van Dini, afgeleide.

    24.4. Werkcollegeopgaves 2, 2.2, 1.46, inleveropgaves 7, 2.6. Partieel differentieerbaar, kettingregel, middelwaardestelling.

    29.4. Werkcollegeopgaves 2.8, 2.22, 2.26, 2.21. Gradiënt, tweede afgeleide, differentiatievolgorde.

    1.5. Werkcollegeopgaves 2.25, 2.24, 14, inleveropgaves 2.18, 2.37. Extrema, hogere orde afgeleides, Taylorformule. Zelf lezen: Commuting limit operations (sectie 2.10 in het boek).

    6.5. Werkcollegeopgaves 2.56, 2.62, 21, 2.47. Inverse afbeelding, GL(E) open in L(E), contractiestelling.

    7.5. Bonuscollege: operatornormen, vragenuur, rakende afbeeldingen.

    8.5. Werkcollegeopgaves 3.4, 3.6, 3.24, inleveropgaves 3.13, 23. Impliciete functiestelling, toepassingen, constante rang stelling.

    13.5. Werkcollegeopgaves 3.36, 32, 3.32, 3.37. Reguliere waarde, Morse lemma, hyperboloïden.

    15.5. Werkcollegeopgaves 27, 33, 3.47, inleveropgaves 29, 4.22(i)-(v). Differentieerbare variëteiten, immersies, submersies.

    22.5. Werkcollegeopgaves 4.5, 64, 4.29, inleveropgaves 66, 68. Raakruimte, algebraïsche karakterizering, meetkundige karakterizering. Zelf lezen: Lagrange multiplicatoren.

    27.5. Werkcollegeopgaves 46, 48, 5.16, 5.75. Integreren, μ-verwaarloosbaar, L¹(Ω, μ).

    28.5. Bonuscollege: raakbundel, vectorveld, stroming. Bijpassende opgaves: 5.17, 5.76, 5.58.

    29.5. Werkcollegeopgaves 9.2, 9.3, 9.4, inleveropgaves 9.13, 9.5. Limietstellingen, integraalnorm, μ-meetbaar.

    4.6. Werkcollegeopgaves 9.8, 9.7, 9.11, 9.10. De stelling van Fubini, Riemann-integreerbaar, Jordan-verwaarloosbaar.

    6.6. Werkcollegeopgaves 6.8, 9.18, 6.12, inleveropgaves 9.20, 6.24. Substituëren

    14.6. De substitutiestelling

    15.6. Bonuscollege: differentiaalvormen. Bijpassende opgaves (pdf, ps) multilineaire algebra.

    16.6. Integratie over een deelvariëteit van Rn

    17.6. Integraalstellingen: Gauß

    18.6. Integraalstellingen: Green

    19.6. Integraalstellingen: Stokes