Analyse in meer variabelen

Heinz Hanßmann, Douwe Hoekstra, Tom Manopulo

blok 4	tijd	plaats
hoorcollege	maandag 11:00 - 12:45 dinsdag 17:15 - 19:00 woensdag 11:00 - 12:45	BBG 017
werkcollege	maandag 9:00 - 10:45 dinsdag 17:15 - 19:00 woensdag 9:00 - 10:45	BBG 017

ECTS : 7.5 studiepunten

Met de colleges op dinsdag avond halen we met name de vele maandagen in die deze blok feestdagen zijn, een aantal ervan zal daarom werkcollege zijn.

Dit vak behandelt diverse aspecten van de anlyse in meerdere reële variabelen; de onderwerpen zijn reeds aangeroerd bij het college Infinitesimaalrekening. Daar lag echter de nadruk op het werken en rekenen met de begrippen, terwijl hier de nadruk ligt op het begrijpen, formuleren en bewijzen. Er worden in deze cursus ook nieuwe onderwerpen aangeboord die een andere kijk op de analyse geven dan de infinitesimaalrekening en die fundamenteel zijn voor een verdere opbouw van de analyse. Het vak is voorkennis voor de richtingen differentiaalmeetkunde, differentiaalvergelijkingen en dynamische systemen.

Onderwerpen die aan de orde komen zijn

Totale afgeleide van vector-waardige functies van meerdere veranderlijken, ook hogere orde

Inverse en impliciete functiestelling

Deelvariëteiten en representatie m.b.v. immersies en submersies

Raakruimten aan deelvariëteiten

Integratie in Rⁿ

Stelling van Fubini, herhaalde integratie en verwisseling van integratievolgorde

Substitutiestelling

Integratie over een deelvariëteit van Rⁿ

Stellingen van Gauß, Green en Stokes

Na afronding van de cursus kent de student de bovenstaande definities en de uitspraken en bewijsideeën van de bovenstaande stellingen. Verder is de student in staat om de definities en stellingen op voorbeelden toe te passen.

Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken: tijdens het werkcollege en met name ook thuis; voor het laatste (ook) de inleveropgaves. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaves worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald. Het eindcijfer is dan C = min(max((I+2M)/3, M-1), M+1), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen.

Tentamen (pdf, ps) en hertentamen gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.

Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.

Literatuur

Bij het college wordt gebruik gemaakt van een dictaat in twee delen, verkrijgbaar bij de dictaatverkoop van A-Eskwadraat.

Het vak analyse staat centraal in elke wiskundeopleiding en er zijn talloze boeken verschenen, waaronder:

H.W. Broer

Meetkunde en Fysica

Epsilon Uitgaven 44 (1999)

J. Dieudonné

Foundations of Modern Analysis

Academic Press (1960)

J.J. Duistermaat & J.A.C. Kolk

Multidimensional real analysis, I Differentiation, II Integration

Cambridge Studies in Advanced Mathematics 86 & 87

Cambridge University Press (2004)

K.A. Kortram & A. van Rooi

Analyse, functies van meer veranderlijken

Epsilon Uitgaven 16 (1990)

T. Tao

Analysis II

Hindustan Book Agency (2014)

Rooster

Opgaves zonder `0.' ervoor (of met `9.' ervoor) zijn uit het diktaat, de anderen zijn uit het boek van Hans Duistermaat en Joop Kolk. Achter nog te corrigeren data staat alvast wat aan de orde zal komen, maar het kan nu erg fout lijken en ik ga dit nog corrigeren.

23.4. Werkcollegeopgaves 1, 0.17, 1.1, 1.14, inleveropgaves 8, 2.6. Overzicht, stelling van Dini, afgeleide.

28.4. Werkcollegeopgaves 2, 2.2, 3, 1.46. Partieel differentieerbaar, kettingregel, middelwaardestelling.

29.4. Gradiënt, tweede afgeleide, differentiatievolgorde.

30.4. Werkcollegeopgaves 2.8, 2.22, 2.26, 2.21, inleveropgaves 2.18, 2.37. Extrema, hogere orde afgeleides, Taylorformule. Zelf lezen: Commuting limit operations (sectie 2.10 in het boek).

6.5. Werkcollegeopgaves 2.25, 2.24, 9, 15.

7.5. Werkcollegeopgaves 2.56, 2.62, 22, 2.47, inleveropgaves 3.13, 24. Inverse afbeelding, GL(E) open in L(E), contractiestelling.

8.5. Werkcollegeopgaves 3.4, 3.6, 3.24. Impliciete functiestelling, toepassingen, constante rang stelling.

15.5. Werkcollegeopgaves 3.36, 32, 3.32, 3.37. Reguliere waarde, Morse lemma, hyperboloïden.

16.5. Werkcollegeopgaves 27, 33, 3.47, inleveropgaves 29, 4.22(i)-(v). Differentieerbare variëteiten, immersies, submersies.

22.5. Werkcollegeopgaves 4.5, 64, 4.29, inleveropgaves 66, 68. Raakruimte, algebraïsche karakterizering, meetkundige karakterizering. Zelf lezen: Lagrange multiplicatoren.

29.5.Werkcollegeopgaves 5.17, 5.76, 5.58. Raakbundel, vectorveld.

30.5. Werkcollegeopgaves 46, 48, 5.16, 5.75. Integreren, μ-verwaarloosbaar, L¹(Ω, μ).

31.5. Werkcollegeopgaves 9.2, 9.3, 9.4, inleveropgaves 9.13, 9.5. Limietstellingen, integraalnorm, μ-meetbaar. Zelf lezen: differentiatiestelling 6.31 en stelling 6.43 van Tonelli.

5.6. Werkcollegeopgaves 9.8, 9.7, 9.11, 9.10. De stelling van Fubini, Riemann-integreerbaar. Substituëren.

6.6. Werkcollegeopgaves 6.8, 9.18, 6.12, inleveropgaves 9.20, 6.24. Lineaire substituties, bewijs van de substitutiestelling, lemma van Sard.

12.6. Werkcollegeopgaves 9.23, 6.19, 9.27, 6.36. Integratie over een deelvariëteit van Rⁿ, Euclidische dichtheid, domein (aan één kant van de rand). Zelf doorwerken: voorbeelden van Euclidische dichtheden (sectie 7.4 in het boek).

13.6. Werkcollegeopgaves 9.51, 9.52. 9.53, 9.54. Differentiaalvormen.

14.6. Werkcollegeopgaves 7.7, 7.8, 9.40, 7.9. Partiële integratie, divergentiestelling van Gauß, de warmtevergelijking.

19.6. Werkcollegeopgaves 7.42, 7.41, 9.43, 7.32. Lijnintegraal, integraalstelling van Green, integraalformule van Cauchy.

20.6. Bonuscollege: opgaves (pdf, ps) uit het tentamen vorig jaar.

21.6. Werkcollegeopgaves 8.3, 9.42, 8.14, 9.45. Rotatiestelling van Stokes. Aanbevolen opgaves: 8.8, 9.47.