Quasiperiodische Verzweigungstheorie

Heinz Hanßmann

Sommer	Zeit	Ort
Vorlesung	Freitag 15:30 - 17:00	Seminarraum 224.3

Beginn: 10. April 2015

Beschreibung

Die Verzweigungstheorie untersucht, wie sich das Verhalten dynamischer Systeme ändern kann, etwa wenn externe Parameter variiert werden. Dies betrifft insbesondere Gleichgewichtspunkte und andere invariante Teilmengen: diese können aufhören zu existieren oder etwa ihr Stabilitätsverhalten ändern. Ein wichtiges Beispiel ist die sogenannte Hopfverzweigung, in der ein Gleichgewichtspunkt seine Stabilität verliert und eine (stabile) periodische Bahn abzweigt.

Quasiperiodische Bahnen liegen dicht auf invarianten Tori. In der Vorlesung werden die möglichen Verzweigungen dieser Objekte behandelt. Ein wichtiges Beispiel sind wiederholte (quasi)periodische Hopfverzweigungen in denen eine periodische Bahn zu 2-Tori, 3-Tori, ... führt. Diesem Hopf-Landau-Lifschitz Szenario zur Entwicklung von Turbulenz steht das Ruelle-Takens Szenario in den Resonanzen zwischen den auftretenden Frequenzen zur Seite.

Einige weitere Stichworte

Gekoppelte Oszillatoren, Normalformen, KAM-Theorie.

Für: Studierende der Mathematik, Physik, ... , im Masterstudium.

Voraussetzungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen mit weitergehenden Kentnissen in dynamischen Systemen wie sie aus einer entsprechenden Mathematikvorlesung und/oder aus Vorlesungen in anderen Fächern bekannt sind. Ich werde mich auf die tatsächlich vorhandenen Kentnisse sowie Wünsche der Hörer einstellen.

Literatur

V.I. Arnold

Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations

Springer (1983)

V.I. Arnold, V.V. Kozlov and A.I. Neishtadt

Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics

in Dynamical Systems III (ed. V.I. Arnold)

Springer (1988)

H.W. Broer, H. Hanßmann and F.O.O. Wagener

Quasi-Periodic Bifurcation Theory: the geometry of KAM

(in Vorbereitung)

M.C. Ciocci, A. Litvak-Hinenzon and H.W. Broer

Survey on dissipative KAM theory including quasi-periodic bifurcation theory

Chapter 5 of Geometric Mechanics and Symmetry: the Peyresq Lectures (eds. J. Montaldi and T.S. Ratiu)

LMS Lecture Notes Series 306, Cambridge University Press (2005)

J. Guckenheimer and P. Holmes

Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields (2nd ed.)

Springer (1986)

Yu. Kuznetsov

Elements of applied bifurcation theory

Applied Mathematical Sciences 112, Springer (1995)

Inhalt

Freitag 10. April. Allgemeine Übersicht, Oszillatoren.

Freitag 17. April. Windungszahl, Satz über Kreisabbildungen.

Freitag 8. Mai. Diophantische Frequenzvektoren, nichtdegenerierte Frequenzabbildungen.

Freitag 15. Mai. Verzweigungen, Hopf-Landau-Lifschitz-Ruelle-Takens Szenario.

Freitag 22. Mai. Ausblick. Lineare Probleme.

Freitag 12. Juni. Beispiele linearer kleiner Nenner. Persistenz.

Freitag 26. Juni. Persistenz invarianter Tori, BHT-Nichtdegeneriertheit.

Freitag 3. Juli. Anwendung auf quasi-periodische Responsprobleme. Elementare Verzweigungstheorie.

Freitag 10. Juli. Intermezzo Singularitätentheorie, Verzweigungen von Gleichgewichtspunkten.

Freitag 17. Juli. Verzweigungen periodischer Bahnen. Familien quasiperiodischer Attraktoren und ihre Verzweigungen.