In de herfst van 2002 heeft een Studentenseminarium Intuïtionisme plaatsgevonden.
Een Studentenseminarium is een onderwijsvorm waarbij de deelnemende studenten zelf de stof presenteren (natuurlijk met enige begeleiding van de docent). De stof komt vaak uit artikelen; je maakt op een heel andere manier kennis met Wiskunde dan bij gewone hoorcolleges.
In 1908 schreef de Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer (bekend van de dekpuntsstelling in de Topologie) een artikel, getiteld De onbetrouwbaarheid der logische principes, waarin hij betoogde dat het "principe van het uitgesloten derde" (ook wel principium tertii exclusi, of tertium non datur genoemd) een onbetrouwbaar logisch principe is.
Geven we, voor een bewering A, zijn ontkenning aan met niet-A, dan zegt het "uitgesloten derde" dat er van de twee beweringen A en niet-A, precies één waar is. Een andere formulering, die equivalent is, luidt: als het aannemen van niet-A tot een tegenspraak leidt, dan is A waar. Oftewel: niet-(niet-A) is hetzelfde als A.
Brouwer was wel bereid toe te geven, dat dit principe nooit tot een tegenspraak leidt, maar hield staande dat resultaten, met behulp van dit principe afgeleid, daarom nog niet altijd waar zijn.
Nu is dit principe nogal diep in de wiskunde verankerd. Denk aan de tweede formulering ervan; dit is een redenering die je dagelijks gebruikt. Er zijn dan ook wiskundige stellingen, die je zonder uitgesloten derde niet af kunt leiden, ja sterker: er zijn zeer elementaire, algemeen aanvaarde wiskundige stellingen (zoals de tussenwaarde-stelling in de Analyse, of de uitspraak dat elke niet-lege verzameling van natuurlijke getallen een kleinste element heeft) waaruit het uitgesloten derde logisch volgt, zoals ook Brouwer vrij snel inzag.
Voor Brouwer niet! Hij zette zich aan het ontwikkelen van zijn zg. Intuïtionistische Wiskunde. Mede echter door zijn zware, filosofische stijl en zijn afkeer van elk logisch formalisme, was het voor anderen moeilijk te begrijpen welke redeneringen en gevolgtrekkingen nu wèl geoorloofd waren; men vroeg zich openlijk af, of dit nog wel wiskunde genoemd kon worden.
In de jaren '30 van de twintigste eeuw gaf A. Heyting een precieze karakterisering (in de vorm van een logisch afleidingssysteem) voor welke redeneringen intuïtionistisch geldig zijn.
Gelukkig niet! In de loop der jaren zijn er allerlei interpretaties van het intuitionisme bedacht, die de klassieke (d.w.z., niet-intuitionistische) wiskundige in staat stellen, de intuitionistische logica te begrijpen.
Zo'n interpretatie werkt als volgt: je vindt een verzameling X van bepaalde wiskundige structuren (bijvoorbeeld: X is de verzameling van alle open delen van een topologische ruimte). De bedoeling is, dat "beweringen" geïnterpreteerd worden als elementen van X. Operaties die op beweringen werken, zoals "niet-..", moeten weerspiegeld worden door operaties op elementen van X (in het voorbeeld van open verzamelingen: het inwendige van het complement nemen). Je specificeert bepaalde elementen van X, die staan voor "ware beweringen". Als je nu kunt laten zien, dat elke (intuïtionistisch) geldige redeneer-stap, geïnterpreteerd in X, "ware beweringen" behoudt, terwijl, bijvoorbeeld, niet-(niet-A) niet altijd gelijk is aan A, dan heb je een soort model van het intuitionistisch redeneren (in het voorbeeld: als je de operatie "inwendige van het complement" twee keer toepast, krijg je in het algemeen iets anders dan waar je mee begon). Belangrijk is, dat je over X en over de operaties op X, gewoon klassiek kunt redeneren, zoals je gewend bent.
De eerste die zo'n interpretatie formuleerde was Tarski, maar een andere interessante werd gegeven door Kolmogorov. De studie van dit soort interpretaties leidt vaak tot interessante wiskundige vragen en raakpunten met andere wiskundige disciplines.
Dit is een tekst in .ps.gz formaat, met meer informatie.
Terug naar mijn onderwijspagina