Studentenseminarium Modeltheorie

Docent: Jaap van Oosten

Deelnemers: Theo van den Bogaart, Ruben van den Brink, Peter Hannewijk, Maartje de Jonge en Alfred Jurcka.
Toehoorders: Claire Gentil, Pieter Hofstra.

Het seminarium vindt plaats op dinsdagochtend, 9-11 in zaal 611B. Start 11 september 2001. Er is geen bijeenkomst op 23 Oktober.
Om in aanmerking te komen voor studiepunten, dient een student een deel van de stof te presenteren.

Het thema van dit seminarium is: Kwantor-eliminatieresultaten voor algebraïsche structuren.

Na een inleiding door de docent, zullen we de volgende artikelen behandelen:

  1. Eklov & Sabbagh, Model-completions and Modules, Ann.Math.Logic 2, 3 (1971), pp.251-295;
  2. Baur, Elimination of Quantifiers for Modules, Israel Journ. of Math. 25 (1976), pp.64-70;
  3. Macintyre, McKenna & Van den Dries, Elimination of Quantifiers in Algebraic Structures, Advances in Math. 47 (1983), pp.74-87;
  4. Van den Dries, A Linearly Ordered Ring whose Theory admits Quantifier Elimination in a Real Closed Field, Proc.Amer.Math.Soc.79 (1980), 97-100.

Opmerking over het artikel van Baur: het artikel bevat een onnauwkeurigheid, die echter niet fataal is. Op blz. 65, boven Lemma 1, wordt gezegd dat de collectie elementen van een moduul M die aan een p.p. formule voldoen, een submoduul van M is. Dit klopt niet (het is wel een ondergroep), tenzij de ring commutatief is. Echter, Lemma 3, geformuleerd voor modulen, is algemener waar voor abelse groepen, zoals een directe inspectie van het bewijs laat zien. Lemma 3 wordt dan toegepast in het bewijs van Lemma 1 (pp.67-68) op een quotient, dat niet noodzakelijk een moduul is, maar wel een abelse groep. Dus het bewijs gaat, met een kleine aanpassing, gewoon door.

Aanvullende literatuur

De bekende kwantor-eliminatie stellingen voor algebraïsch afgesloten lichamen (ACF) en voor reëel afgesloten lichamen (RCF) worden, beknopt en elegant, behandeld in het eerste hoofdstuk van het boekje Model Theory of Fields van Marker, Messner en Pillay (Springer Lecture Notes in Logic, 1996). Hier vind je ook enkele toepassingen, zoals: Hilbert Nullstellensatz, Constructible sets behouden onder beelden van morfismen van variëteiten, Hilbert 17e probleem. De basistheorie van reëel afgesloten lichamen (bestaan van reële afsluiting, stelling van Sturm etc.) staat uitvoerig in het hoofdstuk "Artin-Schreier Theory" van N. Jacobson's Lectures in Abstract Algebra III, Van Nostrand 1964. Toepassingen van kwantor-eliminatie voor RCF in de reële algebraïsche meetkunde vind je in het boek Constructible Sets in Real Algebraic Geometry van Andradas, Bröcker en Luis (Springer 1996).

Informatie over de structuur van deelbare Abelse groepen is in bijna elk algebra-boek te vinden. Bijvoorbeeld: Fundamentals of the Theory of Groups, van Kargapalov en Merzljakov (Springer 1979).

Terug naar de basis.