Topologie en Meetkunde, 4e en 5e periode, 2001

Het college wordt gegeven door Prof. dr. D. Siersma. De practicumleiders zijn Franziska Bittner en Jaap van Oosten.
We gebruiken het boek Topology, a first course van James A. Munkres.
Hieronder volgt, per week, de behandelde stof en de opgaven voor het werkcollege. 'Oud' slaat op de eerste editie van dit boek (rood kaft), 'Nieuw' op de tweede (groen kaft). Er is ook elke week een voormaakopgave: een student bereidt die voor, en maakt de opgave op het bord voor.

Tentamenregeling: er zijn twee tentamens, A en B, die elk als afzonderlijk tentamen tellen voor 2 studiepunten.

• Week 11. Behandeld: paragr 12 en 13 (Nieuw); 2-1 en 2-2 (Oud)
  Opgaven: Nieuw 13-1,13-7,13-2,13-3; Oud 2-2-1,2-2-6,2-2-2,2-2-3
  Voormaakopgave: Oud 2-2-4, Nieuw 13-4
• Week 12. Behandeld: 15,16, begin 17 (Nieuw); 2-4,2-5, begin 2-6 (Oud)
  Opgaven: Nieuw 16-1,16-3,16-6,17-3,17-8; Oud 2-5-1,2-5-3,2-5-7,2-6-3,2-6-8abc. Extra: vertaal stellingen over "afsluiting" in stellingen over "inwendige".
  Voormaakopgave: Stel X en Y hebben de co-eindige topologie. Wanneer is de product-topologie op XxY weer de co-eindige topologie?
• Week 13. Behandeld: rest 17,18 (Nieuw); 2-6,2-7 (Oud)
  Opgaven: Nieuw 17-13, 17-19ab, 17-20 (enkele onderdelen),18-8 (Y=\R); Oud 2-6-13, 2-6-18ab, 2-6-19 (enkele onderdelen), 2-7-3 , 2-7-9(voor Y=\R) , 2-7-14
  Voormaakopgave: Oud 2-7-8a, Nieuw 18-7a.
• Week 14. Behandeld: rest 18,19,20,21 (Nieuw); rest 2-7,2-8,2-9,2-10 (Oud)
  Opgaven: Nieuw 20-3,20-5,21-2; Oud 2-9-2,2-9-5,2-10-2
  Extra opgaven: 1.Laat X een topologishe ruimte zijn. Toon aan dat de verzameling van homeomorfismen een groep vormen (onder compositie).
  2.Laten P en Q twee punten zijn in een metrische ruimte X.
  i) Toon aan x -> d(x,P) is continu
  ii) Toon aan, de middelloodlijn (of conflictverzameling) van P en Q,
  Conf(P,Q) = { x \in X | d(x,P) = d(x,Q) }, gesloten is in X.
  iii) Idem voor het "gewogengeval" (a , b > 0):
  { x \in X | a*d(x,P) = b*d(x,Q) }
  Als a ongelijk is aan b dan is deze verzameling begrensd.
  Voormaakopgave: Stel X een metrische ruimte, A\subset X een niet-lege deelverzameling. Laat g(x):= inf{d(x,a)| a\in A}.
  Laat zien dat g:X->\R continu is en dat g^{-1}({0}) de afsluiting van A is.
• Week 15. Behandeld: 26,27 tot Lebesgue getal (Nieuw); 3-5,3-6 (Oud)
  Opgaven: Nieuw 26-3,26-7,26-8,27-2; Oud 3-5-3,3-5-8,3-5-9,3-6-4
  Voormaakopgave: Oud 3-5-1, Nieuw 26-1
• Week 16.Let op, college op dinsdag 17 april, werkcollege 14.30-16.00!!
  Behandeld: Nieuw 23,24 Oud 3-1,3-2
  Opgaven: Nieuw p.152 1,4;p. 157 1,158 8. Oud 151:1,5; 158:1 en 159:8,158:7
• Week 17. Geen nieuwe stof; herhalen en vragen beantwoorden.
  Opgaven: Nieuw 17-9,23-5,26-4;Oud 2-6-9,3-1-7,3-5-4
• Week 20. Behandeld: Nieuw 51,52,22(iets over quotient-topologie).
  In periode 5 worden de twee werkcollege-groepen samengevoegd. Het werkcollege is in zaal BBL 106.
  Opgaven: Nieuw 51-1,3;52-3,4;22-4. Oud 8-1-1,5;8-2-2,3;2-11-5,6.
• Week 21. Behandeld: Nieuw 53,54(t/m 54.4),55(zonder 55.8*); oud 8-3,8-4. Vanaf hier loopt de behandeling in Oud en Nieuw uit elkaar: Stelling 55.6 (Nieuw) is 8-10.2 (Oud), maar het bewijs is iets anders.
  Opgaven: Nieuw 53-3,5;54-5,7,8 (Oud 8-3-5,4;8-4-9,8+Laat zien dat de fundamentaalgroep van de torus gelijk is aan ZxZ)
  Extra opgave: geef overdekkingsafbeeldingen van de cilinder naar de Moebiusband, van de torus naar de torus (niet de identiteit!), en van de torus naar de Kleinse Fles.
• Week 22. Behandeld: (Nieuw) 55 (minus 55.5 en 55.8),58 tot midden p. 363),59 en 60.
  Vanaf nu is het oude boek niet meer bruikbaar! We geven de stof en opgaven dus alleen uit de nieuwe versie.
  Opgaven: 55-2,3;58-2;59-1,3;60-1,4,5.
• Week 23. Geen college; op het werkcollege maken we de rest van de sommen van Week 22, eventueel wat inhalen; extra: 59-4.
  Extra opgave: zij X=S^2-twee punten, Y=P^2-een punt. Laat zien dat er een overdekkingsafbeelding f:X-->Y is, bepaal de fundamentaalgroepen van X en Y, en geef het groepshomomorfisme f*.
• Week 24. Behandeld: 70--75 (Van Kampen-stelling zonder bewijs).
  Opgaven: Bepaal de fundamentaalgroepen van de figuur theta en het 1-skelet van het viervlak volgens de methode van 71.1; 73-1; 74-1,3,4,5; 75-1,2,3.
• Week 25. Behandeld: 76-77 en het resultaat van 78 (zonder bewijs).
  Opgaven: verder met opgaven van 75 (zie Week 24); 76-1,2; 77-1,3.
• Week 26. Herhalingscollege, herhalingsopgaven op practicum.

Overzicht van de stof van periode 5 (deel B)

De stof voor deze periode is grotendeels een selectie uit "Part II: Algebraic Topology".
Dit deel van het college is minder theoretisch, vaak gericht op het berekenen en toepassen. Soms worden bewijzen overgeslagen of alleen geschetst.

Hoofdstuk 9: De fundamentaalgroep.

Par 51

Homotopie van paden.

Par 52

De fundamentaalgroep.
Hier en ook later zijn alle gebruikte begrippen uit de groepentheorie op het college nader geformulerd en toegelicht. De groepentheorie wordt in deze cursus meer als "taal" gebruikt dan als diepe theorie.

Par 53

Overdekkingsruimten.

Par 54

Fundamentaalgroep van de cirkel.
(een betetere titel is: het liften van paden en homotopien)
bewijs van 54.1 behandeld; van 54.2 alleen geschetst de rest van de paragraaf behandeld; aandacht voor groep en voortbrenger (pag 346). Stelling 54.6 overgeslagen.

Par 55

Retracties en vaste punten.
Overslaan: 55.8

Par 58

Deformatieretracten en homotopietype.
Behandeld tot het midden van pag. 363 tot en met de opmerking, dat twee ruimten met hetzelfde homotopietype isomorfe fundamentaalgroepen hebben. De rest van pag 363 tot en met pag 365 : overslaan.

Par 59

De fundementaalgroep van de n-sfeer.
Deze paragraaf is gebruikt als opmaat voor de Stelling van Van Kampen en het berekenen van fundamentaalgroepen. Allereeerst zegt stelling 59.1 dat de fundamentaalgroep van de vereniging X = U \cup V (beide open) wordt voortgebracht door lussen uit U en V; maw te schrijven zijn als "woorden" bestaande uit elementen van de fundamentaalgroepen van U resp V. (bewijs hoort bij de stof).
Er zit een meerduidigheid in deze woord-schrijfwijze en die heeft te maken met de fundamentaalgroep van U \cap V (de doorsnede). Twee gevallen hebben we daarbij vermeld:

1. De doorsnede U \cap V is enkelvoudig samenhangend: Dan is de fundamentaalgroep van de vereniging U \cup V gelijk aan het vrije produkt van de fundamentaalgroepen van U, resp V. Dit betekent dat er geen meerduidgheid is in de woord-schrijfwijze, m.a.w. er gelden geen extra relaties tussen elementen van de verschillende fundamentaalgroep.
2. Bij het aanhechten van een zg. 2-cel wordt wordt de meerduidigheid gegeven door de "randcirkel", m.a.w. we moeten deze relatie toevoegen aan de fundamentaalgroep van de betrokken ruimte. (details staan in par 72)

We hebben de gevallen 1. en 2. niet bewezen. Gevolg 59.2 en stelling 59.3 zijn behandeld en belangrijk (inclusief bewijs).

Par 60

Fundamentaalgroep van sommige oppervlakken.
(helemaal behandeld).

Hoofdstuk 11: Seifert-van Kampen stelling.

NB. Par 67, 68 en 69 zijn te gebruiken als referentie voor onderwerpen uit de groepentheorie (alleen gebruiken voor zover nodig).

Par 70

Seifert-van Kampen stelling.
Overslaan: zie de bovenstaande discussie bij par 59.

Par 71

De fundamentaalgroep van een wig van cirkels.
Aleen het geval van eindig veel cirkels; dus stelling 71.1 met bewijs. Rest van de paragraaf: overslaan.

Par 72

Aanhechten van een 2-cel.
De introductie plus stelling 72.1 (in de formulering van geval b) bij Par 59. (geen bewijs).

Par 73

Fundamentaalgroep van de torus en de hoed van Dunce.
Behandeld m.u.v. lemma 73.3.

Hoofdstuk 12: Classificatie van oppervlakken.

Par 74

Fundamentaalgroep van oppervlakken.
Behandeld; hierbij komt ook het begrip quotientruimte voor; zie hiervoor Par22 (hoort ook bij de stof met name pag 136-140).

Par 75

Homologie van oppervlakken.
Shortcut : We maken de fundamentaalgroep abels door het toevoegen van de relaties ab = ba voor alle generatoren. Daarna rechtstreeks naar 75.3, 75.4 en 75.5.

Par 76

Knippen en plakken.

Par 77

De classificatiestelling.
Behandeld vanuit zowel meetkundig als algebraisch standpunt (de vier regels in opgave 77-3).

Par 78

de constructie van compacte oppervlakken.
De inhoud van stellingen 78.1 en 78.2 (met enig begrip; maar zonder bewijs).

Tentamen van 3 juli 2001, en een beknopte uitwerking.

Hertentamen A-deel van 11 juli 2001, en een beknopte uitwerking.