|
De problemen die men in de wetenschappelijke en technische praktijk
numeriek moet oplossen zijn gewoonlijk hoog dimensionaal. Om
(efficiënt) rekenen mogelijk te maken projecteert men zulke problemen
op laag dimensionale ruimten. Uit de laag dimensionale geprojecteerde
problemen probeert men vervolgens goede numerieke benaderingen te
destileren voor de oplossing van het oorspronkelijke, hoog-dimensionale,
probleem. De methodes gaan iteratief te werk. In iedere iteratieslag
wordt de laag dimensionale ruimte, de zogenaamde zoekruimte,
uitgebreid. De fundamentele vragen zijn hoe effektief uit te breiden en
hoe de beste informatie uit het geprojecteerd probleem te halen.
Hierbij moet op efficiëntie en stabiliteit gelet worden.
Oplosmethoden als GMRES en Bi-CGSTAB voor lineaire problemen en Arnoldi en Jacobi-Davidson voor eigenwaarden problemen zijn van dit type. In dit seminarium zullen we dit soort problemen bekijken en we zullen ook aandacht besteden aan wat ingewikkeldere problemen die op een zelfde wijze aan te pakken zijn. We denken hierbij aan 1) het berekenen van de responsfunktie van bijvoorbeeld elektronische circuits met honderdduizende schakelingen of van mechanische constructies. De responsfunktie beschrijft hoe het systeem reageert op een signaal of trilling van buiten. Deze funktie hangt op een ingewikkelde manier af van de eigenwaarden en eigenfunkties van het systeem en het is niet efficiënt om de berekening via deze grootheden te laten verlopen.
2) Een ander voorbeeld komt uit de Quantum Chromodynamica (QCD). Dit is
de fysische theorie van de sterke interaktie tussen materie. In deze
theorie is men onder meer geïnteresseerd in oplossingen x van
lineaire systemen van de vorm
J+sign(A)x=b, waarbij A en
J bekende symmetrische indefinite matrices zijn van hoge dimensie en
b een bekende vektor. Voor scalairen lambda is de sign funktie
gedefineerd door
sign(lambda)=1 als lambda>0
en
sign(lambda)=-1 als lambda<0. De sign-funktie hangt op een
ingewikkelde manier af van het eigensysteem van de matrix A.
|
Seminarium. De deelnemers geven een paar voordrachten over een of meerdere artikelen. Verder wonen ze aktief de voordrachten van de andere deelnemers bij. Bij deelname is aanwezigheid verplicht. |
|
Prof. Dr. H.A. van der Vorst en Dr. G.L.G. Sleijpen |
|
De kwaliteit van de voordracht maar ook de inzet bij andere voordrachten bepalen het cijfer. |
|
De meeste artikelen die in het seminarium bestudeerd worden zijn gepubliceerd en via internet verkrijgbaar (en zullen op deze pagina "gelinkt" worden) of zullen via deze pagina (zie hieronder) opgehaald kunnen worden. |
De eerste bijeenkomst is vrijdag 7 februari, om 10 uur in zaal K8b van het Wiskunde Gebouw. Deze bijeenkomst is informatief. Er zal een rooster opgesteld worden en er zullen afspraken gemaakt worden.
De volgende bijeenkomsten zijn op vijf dinsdagen van
|
