| blok 1 en 2 | tijd | plaats | hoorcollege | woensdag 15:15 - 17:00
vrijdag 11:00 - 12:45 |
BBG 023
BBG 169 |
werkcollege | woensdag 13:15 - 15:00
vrijdag 9:00 - 10:45 |
BBG 023
BBG 169 |
ECTS : 7.5 studiepunten
Naast R^n en C^n zijn functieruimten zoals C[0,1]
de belangrijkste voorbeelden van vectorruimten.
Hierop is nog steeds de theorie uit lineaire algebra van toepassing, maar
zodra men naast eindige lineaire combinaties ook oneindige reeksen wil
gebruiken komt de analyse om de hoek kijken.
Functionaalanalyse is een erg successvol huwelijk van deze twee gebieden,
waarmee men tal van wiskundige problemen aankan.
In deze cursus komen de eenvoudigste vragen van deze theorie aan de orde - wat zijn Banachruimten en Hilbertruimten en waarom zijn deze belangrijk? Hoe kan men lineaire afbeeldingen tussen oneindigdimensionale vectorruimten diagonaliseren? We zullen zien dat men met de voor eindigdimensionale vectorruimten opgebouwde intuïtie een heel eind komt en waar geheel nieuwe aspecten belangrijk worden.
Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken, bovendien zijn er iedere week drie inleveropgaves. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als een grotere groep per sé samen wil inleveren even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaves worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald (waarin het laagste resultaat niet meetelt). Het eindcijfer is dan C = min(max((I+M)/2, M), M+1), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen. De inleveropgaves kunnen dus alleen maar een positieve invloed hebben.
Tentamen (pdf, ps) en hertentamen (pdf, ps) gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.
Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.
In het boek (eerste plaats beneden, daarin ook de opgaves) is bovendien per hoofdstuk aangegeven waar de behandelde stof in (de andere) onderstaande boeken terug te vinden is.
13.11. Werkcollegeopgaves A.6, A.20, A.17, A.14, A.21, inleveropgaves 1.1, A.16, A.19. Inleiding. Norm en Banachruimte, inproduct en Hilbertruimte, (lineaire) operatoren, duale ruimte. Zelf lezen: Topologie van metrische ruimten (hoofdstuk 2).
20.11. Werkcollegeopgaves 1.20, 3.17, 1.9, 2.15, 1.21, inleveropgaves 1.2, 1.18, 3.18. Meetkunde van Hilbertruimten. Beste benadering binnen gesloten deelruimten van Hilbertruimten, orthogonale supplementen van gesloten deelruimten, completering, duale ruimte van een Hilbertruimte. Zelf lezen: Quotientruimte (3.3, 3.11+3.12), topologische directe som (3.10).
22.11. Werkcollegeopgaves 2.9, 4.7, 3.11, 4.24, 4.11. Orthonormaalsystemen en complete orthonormaalsystemen, Fouriertheorie in L^2[0,1], unitaire operatoren. Compacte verzamelingen. Normequivalentie in eindige dimensie.
27.11. Werkcollegeopgaves 4.19, 4.28, 5.5, 4.30, 4.16, inleveropgaves 4.26, 5.8, 4.20. Alleen eindigdimensionale Banachruimten zijn lokaal compact, stellingen van Arzelà-Ascoli en Stone-Weierstraß.
29.11. Werkcollegeopgaves 5.9, 4.41, 5.23, 4.40, 4.31. Bewijs stelling van Stone-Weierstraß, separabele en niet separabele ruimten. Begrensde operatoren. L(E) is Banachalgebra, voorbeeld integraaloperator, voorbeeld shiftoperator op l^2, open mapping theorem, definitie spectrum.
4.12. Werkcollegeopgaves 6.4, 6.11, 5.17, 5.18, 6.12, inleveropgaves 6.14, 6.15, 5.14. Eigenschappen spectrum. Compacte operatoren. Definitie en eigenschappen.
6.12. Werkcollegeopgaves 6.18, 7.8, 6.19, 6.28, 7.5. Riesz theorie, approximatie door operatoren van eindige rang, uniform boundedness theorem.
11.12. Werkcollegeopgaves 7.2, 7.9, 7.7, 7.26, 7.3, inleveropgaves 6.23, 7.19, 7.17. Bewijs uniform boundedness theorem. Zelfgeadjungeerde operatoren. Orthogonale invariante deelruimten, inverteerbarheid, eigenschappen spectrum.
13.12. Werkcollegeopgaves 8.11, 8.6, 8.10, 8.12, 8.8. Eigenschappen spectraalradius, spectraalstelling voor zelfgeadjungeerde compacte operatoren. Integraalvergelijkingen. Fredholmalternatief, spectraalstelling.
18.12. Werkcollegeopgaves 8.7, 8.23, 8.16, 8.21, inleveropgaves 8.15. 8.19. 8.24. Schrödingervergelijking, vermenigvuldigingsoperator, Laplaceoperator, Greense functie, Sturm-Liouville theorie. Operatoren in Hilbertruimten. Geadjungeerde operator, existentie.
20.12. Werkcollegeopgaves 9.2, 8.13, 9.6, 8.22. Geadjungeerde operator, eigenschappen en voorbeelden geadjungeerde operator, Partiële isometrie, L(H) is C*-algebra, normale elementen/operatoren, spectraalstelling voor compacte normale operatoren in Hilbertruimten, functionaalrekening.
8.1. Werkcollegeopgaves 9.4, 8.25, 10.3, 10.2, inleveropgaves 10.4, 10.8, 9.16. Functionaalrekening, polaire decompositie, Hilbert-Schmidt operatoren.
10.1. Werkcollegeopgaves 10.12, 10.10, 10.14, 10.26. Fredholm-operatoren. Definitie en voorbeelden, geadjungeerde en compositie van Fredholm-operatoren, Calkinalgebra, parametrix.
15.1. Werkcollegeopgaves 11.2, 11.3, 11.4, 11.5. Continuïteit van de index, (boog)samenhangscomponenten, Fredholm-operatoren op Banachruimten.
17.1. Werkcollegeopgaves 11.8, 11.7, 11.21, 11.22. Spectraalwaarden. Puntspectrum, continu spectrum, restspectrum, essentieel spectrum, rand van het spectrum, geïsoleerde eigenwaarden. Aansluitend in BBG 001: extra voordracht (pdf, ps) over de stelling van Hahn-Banach.
22.1. Werkcollegeopgaves 12.2, 12.7, 12.5, 12.9. Niet-essentiële randpunten van het spectrum. Korte herhaling.