WISB331 : Hamiltoniaanse dynamische systemen

Heinz Hanßmann, Hans Oude Groeniger

blok 2	tijd	plaats
hoorcollege	maandag 11:00 - 12:45	BBG 161
hoorcollege	dinsdag 17:15 - 19:00	BBG 161
werkcollege	woensdag 11:00 - 12:45	BBG 161

ECTS : 7.5 studiepunten

De Hamiltoniaanse formulering van de mechanica van Newton blijkt in twee belangrijke punten bijzonder geschikt te zijn. Aan de ene kant kunnen de in de meeste `klassieke' systemen voorkomende symmetriën heel efficient gebruikt woorden om het probleem te vereenvoudigen. Aan de andere kant vindt men `dichtbij' gecompliceerde systemen vaak eenvoudiger systemen die men volledig kan beschrijven. Door middel van storingstheorie kan men dan ook uitspraken over het oorspronkelijke probleem doen.

We zullen ons na een korte introductie in de theorie van de Hamiltoniaanse dynamische systemen met beide probleemstellingen bezig houden. Hierbij zullen we ons meestal aan voorbeelden oriënteren, in het bijzonder zal de nodige theorie altijd pas dan worden beschreven als ze ook echt gebruikt wordt. Bij het college zal het programma van vorig jaar gevolgd worden.

Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken; tijdens het werkcollege zul je 1-2 van de opgegeven sommen ter plekke op kunnen lossen en aan 1-2 andere sommen beginnen om ze dan thuis af te werken, bovendien zijn er iedere keer 1-2 inleveropgaven. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaven worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald. Het eindcijfer is dan C = min(max((I+M)/2, M), M+1), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen. De inleveropgaven kunnen dus alleen maar een positieve invloed hebben.

Tentamen en hertentamen gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.

Deelresultaten uit vorige cursussen (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.

Literatuur

R. Abraham and J.E. Marsden

Foundations of Mechanics (2nd ed.)

Benjamin (1978)

V.I. Arnold

Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.)

GTM 60, Springer (1989)

V.I. Arnold, V.V. Kozlov and A.I. Neishtadt

Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics

in Dynamical Systems III

Springer (1988)

H.W. Broer, F. Dumortier, S.J. van Strien and F. Takens

Chapter 9 of Structures in dynamics

Finite-dimensional deterministic studies

North-Holland (1991)

R.H. Cushman and L.M. Bates

Global Aspects of Classical Integrable Systems

Birkhäuser (1997)

G. Gallavotti

The elements of mechanics

Springer (1983)

V. Guillemin and S. Sternberg

Symplectic techniques in physics

Cambridge University Press (1984)

P. Liberman and C.-M. Marle

Symplectic geometry and analytical mechanics

D. Reidel (1987)

A.J. Lichtenberg and M.A. Lieberman

Regular and stochastic motion/chaotic dynamics

Springer (1983/1992)

J.E. Marsden

Lectures on mechanics

LMS Lecture Notes Series 174, Cambridge University Press (1992)

J.E. Marsden and T.S. Ratiu

Introduction to Mechanics and Symmetry

Springer (1994)

K.R. Meyer and G.R. Hall

Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the $N$-Body Problem

Applied Mathematical Sciences 90, Springer (1992)

J. Montaldi and T. Ratiu

Geometric Mechanics and Symmetry: the Peyresq Lectures

LMS Lecture Notes Series 306, Cambridge University Press (2005)

P.J. Olver

Chapter 6 of Applications of Lie groups to differential equations

Springer (1986)

W. Thirring

A course in mathematical physics

Vol.1. Classical dynamical systems

Springer (1978)

F. Verhulst

Chapter 15 of Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems

Springer (1990)

Rooster

We volgen het diktaat Hamiltonian Dynamical Systems.

Maandag 9 November. Inleiding. Systemen met één vrijheidsgraad.

Dinsdag 10 November. Ontvouwing van de onharmonische oscillator, slinger. Hamiltoniaanse systemen op S^2.

Woensdag 11 November. Werkcollegeopgaven 2.6 en 2.4, huiswerk 1.4 en 2.8, inleveropgaven 1.5 en 1.1.

Maandag 16 November. Poisson-haak, voorbeelden op S^2. Theoretische achtergrond.

Dinsdag 17 November. De structuurmatrix, de stelling van Liouville. Systemen met twee vrijheidsgraden.

Woensdag 18 November. Werkcollegeopgaven 2.9 en 3.14, huiswerk 4.9 en 3.12, inleveropgaven 5.3 en 4.12.

Maandag 23 November. Het Keplersysteem.

Dinsdag 24 November. Centraalkrachtveld in het vlak.

Woensdag 25 November. Werkcollegeopgaven 5.5 en 5.13, huiswerk 5.7 en 5.9, inleveropgaven 5.14 en 5.12.

Maandag 30 November. De eccentriciteitsvector. De sferische slinger.

Dinsdag 1 December. Reductie van de symmetrie.

Woensdag 2 December. Werkcollegeopgaven 6.2 en 6.4, huiswerk 5.17 en 5.18, inleveropgaven 5.16 en 6.5.

Maandag 7 December. Reconstructie.

Dinsdag 8 December. Actie-hoek variabelen. Gekoppelde oscillatoren.

Woensdag 9 December. Werkcollegeopgaven 6.7 en 6.8, huiswerk 6.1 en 7.3, inleveropgaven 7.1 en 6.13.

Maandag 14 December. De Hamiltoniaanse Hopf-bifurcatie.

Dinsdag 15 December. Diskriminantverzamelingen. Figuren in twee vrijheidsgraden (.pdf, .ps).

Woensdag 16 December. Werkcollegeopgaven 7.8 en 7.2, huiswerk 7.10 en 7.20, inleveropgave 7.11 en 7.18.

Maandag 4 Januari. Oppervlakte-bewarende afbeeldingen.

Dinsdag 5 Januari. Algemene stellingen. Storingstheorie.

Woensdag 6 Januari. Werkcollegeopgaven 8.3 en 9.2, huiswerk 9.1 en 8.4, inleveropgaven 9.3 en 8.7.

Maandag 11 Januari. Systemen met drie vrijheidsgraden. De Lagrange tol.

Dinsdag 12 Januari. Dynamica in één vrijheidsgraad.

Woensdag 13 Januari. Werkcollegeopgaven 10.1, 10.4 en 10.6, huiswerk 10.2, 10.3 en 10.5.

Maandag 18 Januari. Gyroscopische stabilisatie.

Dinsdag 19 Januari. Symplectische differentiaalvormen.

Woensdag 20 Januari. Werkcollegeopgaven 10.9, 10.7 en 10.12, huiswerk 10.8, 10.10 en 10.11.