WISB331 : Hamiltoniaanse dynamische systemen

Heinz Hanßmann, Thom Klaasse, Nick Lindemulder

blok 4	tijd	plaats
hoorcollege	maandag 11:00 - 12:45	MIN 204
hoorcollege	dinsdag 17:15 - 19:00	MIN 202
werkcollege	woensdag 11:00 - 12:45	HFG 611

ECTS : 7.5 studiepunten

Hoorcolleges op maandagen in april en mei in MIN 205 en in juni in MIN 204; werkcolleges op woensdagen 23 april, 11 en 25 juni in MIN 204 en op woensdag 7 mei in BBL 075.

De Hamiltoniaanse formulering van de mechanica van Newton blijkt in twee belangrijke punten bijzonder geschikt te zijn. Aan de ene kant kunnen de in de meeste `klassieke' systemen voorkomende symmetriën heel efficient gebruikt woorden om het probleem te vereenvoudigen. Aan de andere kant vindt men `dichtbij' gecompliceerde systemen vaak eenvoudiger systemen die men volledig kan beschrijven. Door middel van storingstheorie kan men dan ook uitspraken over het oorspronkelijke probleem doen.

We zullen ons na een korte introductie in de theorie van de Hamiltoniaanse dynamische systemen met beide probleemstellingen bezig houden. Hierbij zullen we ons meestal aan voorbeelden oriënteren, in het bijzonder zal de nodige theorie altijd pas dan worden beschreven als ze ook echt gebruikt wordt. Bij het college zal het programma van vier jaar geleden gevolgd worden.

Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken; tijdens het werkcollege zul je twee van de opgegeven sommen ter plekke op kunnen lossen en aan twee andere sommen beginnen om ze dan thuis af te werken, bovendien zijn er iedere keer twee inleveropgaven. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaven worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald (waarin het laagste resultaat niet meetelt). Het eindcijfer is dan C = min(max((I+M)/2, M), M+1), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen. De inleveropgaven kunnen dus alleen maar een positieve invloed hebben.

Tentamen (pdf, ps) en hertentamen gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.

Deelresultaten uit de cursus van vier jaar geleden (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.

Literatuur

R. Abraham and J.E. Marsden

Foundations of Mechanics (2nd ed.)

Benjamin (1978)

V.I. Arnold

Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.)

GTM 60, Springer (1989)

V.I. Arnold, V.V. Kozlov and A.I. Neishtadt

Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics

in Dynamical Systems III

Springer (1988)

H.W. Broer, F. Dumortier, S.J. van Strien and F. Takens

Chapter 9 of Structures in dynamics

Finite-dimensional deterministic studies

North-Holland (1991)

R.H. Cushman and L.M. Bates

Global Aspects of Classical Integrable Systems

Birkhäuser (1997)

G. Gallavotti

The elements of mechanics

Springer (1983)

V. Guillemin and S. Sternberg

Symplectic techniques in physics

Cambridge University Press (1984)

P. Liberman and C.-M. Marle

Symplectic geometry and analytical mechanics

D. Reidel (1987)

A.J. Lichtenberg and M.A. Lieberman

Regular and stochastic motion/chaotic dynamics

Springer (1983/1992)

J.E. Marsden

Lectures on mechanics

LMS Lecture Notes Series 174, Cambridge University Press (1992)

J.E. Marsden and T.S. Ratiu

Introduction to Mechanics and Symmetry

Springer (1994)

K.R. Meyer and G.R. Hall

Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the $N$-Body Problem

Applied Mathematical Sciences 90, Springer (1992)

J. Montaldi and T. Ratiu

Geometric Mechanics and Symmetry: the Peyresq Lectures

LMS Lecture Notes Series 306, Cambridge University Press (2005)

P.J. Olver

Chapter 6 of Applications of Lie groups to differential equations

Springer (1986)

W. Thirring

A course in mathematical physics

Vol.1. Classical dynamical systems

Springer (1978)

F. Verhulst

Chapter 15 of Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems

Springer (1990)

Rooster

We volgen het diktaat Hamiltonian Dynamical Systems.

Dinsdag 22 April. Inleiding. Systemen met één vrijheidsgraad.

Woensdag 23 April. Werkcollegeopgaven 1.2 en 2.3, huiswerk 2.4 en 1.1, inleveropgaven 1.5 en 1.3.

Maandag 28 April. Ontvouwing van de onharmonische oscillator, slinger. Hamiltoniaanse systemen op S^2.

Dinsdag 29 April. Poisson-haak op S^2. Theoretische achtergrond.

Woensdag 30 April. Werkcollegeopgaven 4.1 en 3.14, huiswerk 2.8 en 2.6, inleveropgaven 4.9 en 3.9. Voor de liefhebbers bovendien 3.13.

Dinsdag 6 Mei. Stelling van Liouville. Systemen met twee vrijheidsgraden, het Keplersysteem.

Woensdag 7 Mei. Werkcollegeopgaven 5.2 en 5.4, huiswerk 4.8 en 4.10, inleveropgaven 5.3 en 4.12.

Maandag 12 Mei. Centraalkrachtveld in het vlak.

Dinsdag 13 Mei. De eccentriciteitsvector. De sferische slinger.

Woensdag 14 Mei. Werkcollegeopgaven 5.13 en 5.11, huiswerk 5.7 en 5.8, inleveropgaven 5.14 en 5.16.

Maandag 19 Mei. Reductie van de symmetrie.

Dinsdag 20 Mei. Reconstructie, actie-hoek variabelen.

Woensdag 21 Mei. Werkcollegeopgaven 6.7 en 6.2, huiswerk 6.1 en 6.4, inleveropgaven 6.5 en 6.11. Voor de liefhebbers bovendien 6.15.

Maandag 26 Mei. Gekoppelde oscillatoren.

Maandag 2 Juni. De Hamiltoniaanse Hopf-bifurcatie.

Dinsdag 3 Juni. Diskriminantverzamelingen. Oppervlakte-bewarende afbeeldingen.

Woensdag 4 Juni. Werkcollegeopgaven 7.8 en 7.2, huiswerk 7.18 en 7.3, inleveropgave 7.11 en 8.2. Voor de liefhebbers bovendien 7.17.

Dinsdag 10 Juni. Algemene stellingen, storingstheorie.

Woensdag 11 Juni. Werkcollegeopgaven 9.3 en 9.2, huiswerk 9.1 en 6.16, inleveropgaven 4.3 en 6.17.

Maandag 16 Juni. Kleine noemers. Systemen met drie vrijheidsgraden.

Dinsdag 17 Juni. De Lagrange tol.

Woensdag 18 Juni. Werkcollegeopgaven 10.1, 10.4 en 10.5, huiswerk 10.6, 10.2 en 10.3.

Maandag 23 Juni. Gereduceerde dynamica in één vrijheidsgraad.

Dinsdag 24 Juni. Gyroscopische stabilisatie.

Woensdag 25 Juni. 9:00-10:45 in MIN 205 extra voordracht van Stefan Franssen over gladde rotatie-invariante functies.

Woensdag 25 Juni. Werkcollegeopgaven 10.9, 10.7 en 10.12, huiswerk 10.8, 10.10 en 10.13.