Heinz Hanßmann, Arthur van Dam en Arno Swart
| blok 3 | tijd | plaats | hoorcollege | maandag en woensdag 11:00 - 12:45 | MG 208 | werkcollege en computer practicum |
maandag en woensdag 9:00 - 10:45 bij Arthur van Dam en Stefan Giesing |
K11 en 510/514 |
computer practicum en werkcollege |
maandag en woensdag 9:00 - 10:45 bij Arno Swart en Ruden Teuben |
510/514 en K11 |
ECTS : 7.5 studiepunten
In dit vak staat de betekenis van de wiskunde voor
wetenschap en maatschappij centraal.
We maken kennis met wiskundige modellen voor verschijnselen
in de bedrijfskunde, de biologie, de mechanica en de economie.
Voor elk van deze probleemgebieden worden vervolgens wiskundige
technieken gepresenteerd die ontleend zijn aan de lineaire algebra,
de theorie van iteratie en differentievergelijkingen en de theorie
van differentiaalvergelijkingen.
Achtereenvolgens komen wat de wiskunde betreft aan de orde:
iteratie van functies, bifurcaties, Markovprocessen,
differentievergelijkingen lineair en niet-lineair, differentiaalvergelijkingen
van eerste en tweede orde en optimalisering d.m.v. de simplexmethode.
In tegenstelling tot wat je gewend bent van andere wiskundevakken ligt de nadruk niet zozeer op het zorgvuldig formuleren en bewijzen van stellingen, maar vooral op toepassingen waarbij de computer een sleutelrol vervult. De typische gang bij het opstellen en toepassen van een wiskundig model zou je in drie fasen kunnen opsplitsen:
Geconfronteerd met een onopgelost probleem of onbegrepen fenomeen uit natuurkunde, scheikunde, biologie, economie of noem maar op, probeer je allereerst een vertaling te maken naar een wiskundige formulering. Je maakt hierbij doorgaans gebruik van vereenvoudigingen, waarbij je natuurlijk probeert te voorkomen dat de essentie van het probleem verloren gaat (modelvorming).
Vervolgens ga je het wiskundige probleem, al dan niet numeriek, analyseren. Hierbij zul je vaak je toevlucht nemen tot computers, maar niet voordat je zorgvuldig over het probleem hebt nagedacht (simulatie).
Tenslotte interpreteer je de wiskundige uitspraken binnen haar wetenschappelijk context.
Dit is slechts een schets. In de praktijk zul je vaak tussen deze fasen heen en weer springen om je model waar nodig te corrigeren of te verfijnen.
De eerste en derde fase lenen zich vooral voor bespreking tijdens een hoorcollege of theoretisch practicum, terwijl je met de tweede fase het best ervaring kunt opdoen terwijl je achter een computer zit. Als je deze werkwijze voor ogen houdt zul je begrijpen dat het practicum een integraal onderdeel van het vak uitmaakt, en dat tijdens het praktikum intensief gebruik zal worden gemaakt van de computer. Van een aantal opgaven moet een verslag worden gemaakt. Details over het programma volgen t.z.t. hieronder.
Bij het college en de practica wordt gebruik gemaakt van het dictaat
Modellen en Simulatie van Frits Beukers, verkrijgbaar bij de
dictaatverkoop in het M.I.
Er dienen 3 verslagen ingeleverd te worden.
Schrijf een verslag als een "self-contained" document (van ca. 7 blz.),
dat wil zeggen als een goed gestructureerd verhaal met inleiding en
conclusie, en met tekst en uitleg waarin geen (impliciete of expliciete)
verwijzingen naar de opgave uit het dictaat voorkomen.
Beantwoord uiteraard wel alle vragen voor zover je kunt.
Waar zeer op gelet wordt is dat het werkstukje goed is ingedeeld,
aantrekkelijk en duidelijk geschreven.
De lezer die men zich als doelgroep moet voorstellen is een eerste jaars die
om een of andere reden niet aan dit praktikum meedoet.
De lezer weet dus nog niet waar het over gaat en is niet geinteresseerd
in het nakijken van opgaven.
Het verhaal moet voor deze lezer toch aantrekkelijk en duidelijk zijn.
Dus als er in het werkstukje iets staat als "we maken nu onderdeel 6",
dan moet je niet verbaasd zijn als het cijfer voor het werkstuk onvoldoende
is.
De verslagen worden beoordeeld met 0-8 punten voor de inhoud en 0-2 punten voor de presentatie. De 10 is dus gereserveerd voor verslagen waarin niet alleen de betreffende vragen goed zijn opgelost, maar die ook goed gestructureerd en helder geschreven zijn. Een creatieve inbreng kan eveneens reden voor extra beloning zijn.
Het verslag moet in LaTeX gemaakt worden. Naar aanleiding van vroeger ingeleverde opgaven heeft Arno Swart een aantal opmerkingen (ps, pdf) bij het schrijven van een verslag in LaTeX verzameld.
De opdrachten zijn niet altijd eenvoudig; stel dus vragen aan de practicumleider, werk liefst met een practicumpartner aan de oplossing, maar maak je eigen verslag volgens je eigen voorkeur (eigen slaat op persoon of koppel, naar keuze). Onderschat de tijd die je kwijt bent aan het schrijven van de verslagen niet.
Aan het eind van het college is een tentamen. Het eindcijfer komt tot stand door het gemiddelde te nemen van de beoordelingen voor
Tentamen (ps, pdf) en hertentamen (ps, pdf) gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen het dictaat, de aantekeningen en een eenvoudige rekenmachine gebruikt worden.
Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.
Tenslotte nog een waarschuwing: Het is gebleken
dat het vak door studenten in het verleden als zeer moeilijk werd ervaren.
Niet zozeer de zwaarte als wel de diversiteit aan onderwerpen - en bijgevolg
het rappe tempo waarin deze de revue passeren - is een van de redenen hiervoor.
Een tweede reden is de ietwat andere invalshoek dan je wellicht gewend bent:
Minder diepgang, maar een grotere reikwijdte zogezegd. Laat dit alles vooral
geen afschrikking zijn: Modellen en simulatie is een boeiend vak dat
duidelijk maakt hoe belangrijk wiskunde is bij het oplossen van maatschappelijk
relevante vraagstukken.
Maandag 6 feb en woensdag 8 feb.
Populatiegroei van één soort en recursies, recursies in
één variabele (theorie), logistische groei (bifurcatiediagram,
dekpunten en hun stabiliteit, periodeverdubbelingsbifurcatie).
Bijbehorende opgaven voor het werkcollege: de laatste `voorbereidende
opgave(n)' en 1.4.1-4. Hierbij zou het notebook
iteratie hulpzaam kunnen zijn.
Inleveropgave 1 (ps, pdf).
Maandag 13 feb en woensdag 15 feb.
Logistische groei (renormalisatie: herhaaldelijk
periodeverdubbelingsbifurcaties, periodieke baan van orde 3 na
zadelknoopbifurcatie, chaotisch gedrag bij A=4 op het
interval V = [0, 1], rijkdom van het dynamisch gedrag
voor grote waarden van A).
Lesliematrices en Markovketens, matrixrecursie (theorie),
stelling van Perron-Frobenius.
Bijbehorende opgaven voor het werkcollege:
2.6.2, 2.6.6, 2.6.8, 2.6.10, 2.6.1, 2.6.4, 2.6.9, 2.6.13.
Maandag 20 feb en woensdag 22 feb.
Lesliematrices en Markovketens (theorie),
Markovketens (voorbeelden).
Algemene recursie in R^m, modellen, stabiliteit,
het hoefijzer van Smale.
Bijbehorende opgaven voor het werkcollege:
bijkomend 3.3.1+2.
Inleveropgave 2 (ps, pdf;
correctie: g=2 i.p.v. g=1/2)
en het bijbehorende notebook stuitbal.
Maandag 27 feb en woensdag 1 maart.
Differentiaalvergelijkingen van orde 1 en 2, lineaire
differentiaalvergelijkingen met constante coëfficienten,
harmonische oscillator, resonantie.
Stelsels differentiaalvergelijkingen (autonoom: `rechttrekken' van
vectorveld, flow).
Bijbehorende opgaven voor het werkcollege:
4.2.7, 4.2.3, 4.2.6, 4.5.2.
Maandag 6 maart en woensdag 8 maart.
Stelsels differentiaalvergelijkingen (locale conjugatie met een constante
flow, existentie en uniciteit van oplossingen), autonome stelsels
in R^2: lineaire geval en algemene geval (linearizering rond
evenwichtspunten, stelling van Poincaré-Bendixon,
zadelknoopbifurcatie).
Bijbehorende opgaven voor het werkcollege: 5.4.4-7.
Maandag 13 maart en woensdag 15 maart.
Autonome stelsels in R^2: algemene geval (enharmonische
oscillator: zonder en met wrijving), niet-autonome stelsels: stelsels
in R^3, verband met recursies, numerieke oplossing.
Lineaire programmering, lineaire ongelijkheden, de simplexmethode
(alle maxima worden (ook) in hoekpunten aangenomen).
Arno Swart heeft een matlab-programma
voor visualisatie van veelvlakken in R^3 geschreven.
De kleur duidt de waarde van de doelfunctie aan, rood is maximaal.
Bijbehorende opgaven voor het werkcollege: 6.5.3-6.
Inleveropgave 3
(ps, pdf)
en het bijbehorende notebook resonantie.
Geen colleges op maandag 20 maart en woensdag 22 maart (hertentamenweek).
Maandag 27 maart en woensdag 29 maart. De simplexmethode (standaard gedaante, basispunt, algoritme), het algemene lineaire programmeringsprobleem. De stuiterende bal.
Maandag 3 april en woensdag 5 april.
Matrixspelen.
Simulated Annealing, het handelsreizigersprobleem, het grootschalige
integratieprobleem, een analogie, het algoritme, het geval van
grootschalige integratie
Korte herhaling van de behandelde onderwerpen (in andere volgorde).
Bijbehorende opgaven voor het werkcollege: 7.3.1-2, 8.6.1-2.
Maandag 10 april en woensdag 12 april. Geen hoorcollege, wel werkcollege. Samenstelling van opgaven (ps, pdf) uit vroegere tentamens.