De cursus Elementaire Getaltheorie (WISB321) is een bachelor cursus wiskunde. Ze bestaat uit een hoor+werk college op dinsdagochtend (9:00-12u45) en donderdagmiddag (13:15 - 17:00) van 10 september tot en met 31 oktober. Het hoorcollege vindt plaats in Minnaert 211, de werkcolleges in twee groepen (nader aan te kondigen).

Vakbeschrijving

Getaltheorie is de wiskunde van de gehele getallen. Enkele van de oudste en bekendste problemen uit de wiskunde behoren tot de getaltheorie. Een daarvan, het vermoeden van Fermat, is een paar jaar geleden in de kranten verschenen omdat het na zo'n 350 jaar eindelijk was opgelost. In dit college zal dit vermoeden weliswaar ter sprake komen, maar niet helemaal opgelost worden. De benodigde wiskunde gaat uiterst diep. Dit kenmerkt tevens de getaltheorie. Eenvoudige, voor iedereen begrijpelijke, vragen kunnen alleen opgelost worden met behulp van zeer geavanceerde wiskunde.In het college Elementaire Getaltheorie behandelen we de allereerste basisbegrippen en -technieken in de getaltheorie. Heel kort herhalen we begrippen uit de groepentheorie en gebruiken dit bij de studie van congruenties. Hiermee kunnen we al een verrassend aantal dingen doen, zoals toepassingen in de cryptografie. Daarna behandelen we een aantal geselecteerde onderwerpen waar we wat dieper op ingaan. Bijvoorbeeld diophantische vergelijkingen, priemgetallen, irrationaliteit en transcendentie van getallen.

Practische zaken

NB: Getaltheorie kan niet geleerd worden door alleen maar een tekst te lezen. De belangrijkste activiteit om het vak te leren is OEFENEN. Dit is de reden dat de opgaven een integraal deel vormen van de cursus. Voor de tentamens wordt je geacht de oplosmethoden van werkcollege-opgaven te beheersen. Het spreekt dus voor zich dat je ook bij de werkcolleges aanwezig bent.

Het cursusmateriaal bestaat uit het diktaat Elementary Number Theory van F.Beukers. Deze kan via A-eskwadraat aangeschaft worden en tijdelijk ook gedownload, omdat het waarschijnlijk de eerste week niet beschikbaar is. In het diktaat staan ook de werkcollege opgaven, alsmede een aantal uitwerkingen. Als achtergrond materiaal zou je de volgende boeken kunnen raadplegen

[1] F.Beukers: Getaltheorie voor Beginners, Epsilon Uitgaven, Utrecht (niveau 1,2)
[2] G.H.Hardy, E.M.Wright, Introduction to the Theory of Numbers, Oxford Univ. Press, (klassieker onder de getaltheorieboeken, bevat heel veel buiten de huidige cursus).
[3] Ireland and Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer Verlag (Graduate text in Mathematics, geeft een zeer geschikte voortzetting van de huidige cursus).

Tijdens de cursus wordt er drie tussentijdse toetsen afgenomen, op de donderdagmiddagen van 19-9, 3-10, 17-10. Ze tellen voor 25% in het eindcijfer mee. Er is 1 tentamen aan het eind van de cursus, voorwaarde is dat voor dit tentamen tenminste een 5 wordt gehaald.

Weekschema

10 september
College: Hoofdstuk 1: Ggd, Euclidisch algoritme, priemgetallen
Hoofdstuk 2: Begin arithmetische functies
Werkcollege: 1.5.2, 1.5.3, 1.5.5, 1.5.8, 1.5.9, 1.5.10, 1.5.13, 1.5.20
Extra: Voor de liefhebbers: 1.5.7, 1.5.15, 1.5.19.

12 september
College: Hoofdstuk 2: Arithmetische functies
Werkcollege: 1.5.14, 1.5.17a), 2.3.1, 2.3.2, 2.3.3(bovenste drie), 2.3.4, 2.3.6
Extra, voor de liefhebbers:

2.3.8, 2.3.9

17 september
College: Hoofdstuk 3: Restklassen, inverteerbare restklassen, chinese reststelling, stelling van Euler, Fermat.
Werkcollege: 3.5.1, 3.5.2, 3.5.4, 3.5.6, 3.5.9, 3.5.12, 3.5.25

19 september
College: Hoofdstuk 3: Chinese reststelling, stellingen van Euler, fermat en Wilson, orde van een element. Verder vind je hier Mersenne ontbindingen en, ter vermaak, ook de ontbindingen van de eerste repunits.
Werkcollege: EERSTE TOETS, deze zal gaan over de stof behandeld t/m 17 september. De toest duurt 1 uur. Het daarop volgende uur zullen de uitwerkingen worden gegeven.

24 september
College: Hoofdstuk 3 afmaken, decimale ontwikkeling. Hoofdstuk 5: kwadratische resten
Werkcollege: 3.5.13, 3.5.14, 3.5.15, 3.5.17, 3.5.27, 3.5.28, 3.5.33, 3.5.34, 3.5.35.

26 september
College: Hoofdstuk 5 afmaken: kwadratische reciprociteit en toepassingen.
Werkcollege: 5.7.1, 5.7.7 (eerste 2 en laatste 2), 5.7.8, 5.7.2, 5.7.3, 5.7.4, 3.5.20, 3.5.21.
Extra: Stel N=pq met p,q verschillende priemgetallen. Bewijs dat er een M groter dan 1 bestaat zo dat a^M = a (mod N) voor alle gehele getallen a.

1 oktober
College: Hoofdstuk 4: Priemtesten en ontbinding in priemgetallen.
Werkcollege: 3.5.30, 3.5.31, 3.5.36 (gebruik kwadratische resten), 3.5.37, 5.7.4, 5.7.9, 5.7.10

3 oktober
College: Hoofdstuk 4 afmaken, begin Hoofdstuk 7.
Werkcollege: TWEEDE TOETS, deze gaat over de collegestof t/m 26 september, dwz Hoofdstuk 1 t/m 3, van Hoofdstuk 5 alleen: 5.1,5.2,5.4. De nadruk zal liggen op het tweede deel van Hoofdstuk 3 en Hoofdstuk 5. Uiteraard gaan we er bij de toets ook van uit dat je de werkcollege opgaven t/m dinsdag 1 oktober hebt gedaan.

8 oktober
College: Hoofdstuk 7.1, 7.2: Sommen van kwadraten.
Werkcollege: 3.5.29, 5.7.13, 5.7.14 (zie paragraaf 5.6 en lees N>=R ipv N>=K), Eerst de extra opgaven, daarna 7.5.1,7.5.4.

10 oktober
College: Hoofdstuk 7.2, 7.4: Sommen van kwadraten afmaken, probleem van Waring, Hoofdstuk 8.1: Kettingbreuken, begin.
Werkcollege: Afmaken opgaven vorige keer. Extra opgave:

Zij x,y een tweetal positieve gehele getallen. Bewijs dat x²+y² deelbaar is door een priemgetal dat niet 3 modulo 4 is.
Zij z een getal dat deelbaar is door minstens 1 priemgetal dat niet 3 modulo 4 is. Bewijs dat z² geschreven kan worden als som van twee positieve kwadraten.
Er is gegeven dat elk interval [m+1,2m+1] (met m groter of gelijk 3) een priemgetal bevat dat 3 modulo 4 is. Bepaal alle getallen n! die geschreven kunnen worden als som van twee kwadraten.

Opgaven: 7.5.6, 7.5.7, 7.5.8, 7.5.5 (alternatieve hint: gebruik hetzelfde bewijs als Stelling 7.2.1 en de identiteit
(a²+2b²)(c²+2d²)=(ac-2bd)²+2(ad+bc)²).

15 oktober
College: Kettingbreuken, 8.1 en extra tekst ter vervanging van 8.2
Werkcollege: Opgaven: Afmaken opgaven vorige keer. Van de extra text: Opgave 3.1, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6.

17 oktober
College: Kettingbreuken, vergelijking van Pell, 8.3. Diophantische vergelijkingen, Pythagoreische drietallen. Hoofdstuk 9.1. 9.2.
Werkcollege: Opgaven: Uit de extra tekst (zie vorige keer): 3.7 (1,2,4), 3.8(1,2,3), 3.9, 3.12, Diktaat: 9.8.1, 9.8.2, 9.8.3.

22 oktober

24 oktober

29 oktober

TENTAMEN: Dinsdag 5 november 8u30 - 11u30 uur, Educatorium, Theatron.
Tentamenstof: Hoofdstuk 1, 2, 3, paragrafen 4.1, 5.1-5.4, 7.1, 7.2, 7.4, 8.1, vervanging van 8.2, met opgaven, 8.3, 9.1-9.3, 9.5.
Teevns wordt je geacht op de hoogte te zijn van de technieken die voor de opgaven van het werkcollege gebruikt worden.
Voor oude tentamens zie tentamenbank Aes-kwadraat.
Hier zijn een aantal oudere tentamens

27-1-2004 (met uitwerkingen)
2-2-2006
18-1-2010(met uitwerkingen)

Let op, een aantal vragen van deze tentamens hebben betrekking op Hoofdstuk 10 en 11. Deze kun je dus overslaan.
Dan nog een aantal deeltentamens,

Eerste deeltentamen 5-11-2012 (met uitwerkingen).
Tweede deeltentamen 27-1-2004 met uitwerkingen.
Tweede deeltentamen 2-2-2006.
Tweede deeltentamen 18-1-2010 met uitwerkingen.
Tweede deeltentamen 14-1-2013(met uitwerkingen).

In het A-Eskwadraat archief vind je ook nog andere tentamens. Houdt er rekening dat de behandelde stof gedurende de jaren enigszins varieerde.

HERKANSINGSTENTAMEN: Donderdag 2 januari 2014, 9-12 uur, BBL065.

Elementaire Getaltheorie, najaar 2013

Vakbeschrijving

Practische zaken

Weekschema