International Journal of Computers for Mathematics Learning, vol. 1, nr. 2, pp 139-168, 1996.
De auteurs vatten eigenschappen van theorieën van reificatie samen en geven er kritiek op. Drie belangrijke punten hierbij zijn: (1) ze zijn een nieuwe variant van Platonisme, een modern wiskundig excuus voor abstractie, (2) ze gaan voorbij aan kenmerken van de wiskundige activiteit als de ontwikkeling en het gebruik van "tools", en (3) ze minimaliseren de rol van interactie en de sociale context.
Puntsgewijs wordt commentaar gegeven. Ten eerste op de veronderstelde de hierarchische ordening van de wiskunde en het op process-to-object georienteerde principe om obstakels te overwinnen en het hierarchische systeem te verwerven. Het principe is te smal, te lineair en bovendien is het gevolg van je richten op die hierarchie dat je voorbij gaat aan andere relaties, zoals "issues of purpose, of satisfaction (or dissatisfaction) of needs, and of negotiation of meaning." De hierarchische structuur hoeft niet het gevolg te zijn van "objectification", maar kan ook het gevolg zijn van generalisatie (vgl MIC-Angle). De auteurs wijzen op nog een ander het gevaar van het kiezen van een hierarchie als uitgangspunt, namelijk dat die hierarchie top-down bepaald wordt.
De legitimatie van reificatie in de geschiedenis van de wiskunde wordt sterk bekritiseerd met als voorbeeld de geschiedenis van de calculus van Oresme tot Newton. De auteurs laten zien hoe in historische beschrijvingen vaak weinig aandacht is voor (1) de ontwikkelingen en gebruik van gereedschappen (zoals de tabel door Wallis) en (2) de sociale context van de cultuur en van de "wiskundigen" daarbinnen en (3) de problemen, contexten waarin de wiskunde ontwikkeld werd.
Tot slot geven Confrey en Costa een alternatief model gebaseerd op (student's) voice and perspectief (met als elementen (1) the use of projects and tools, (2) sequencing a variety of representational forms en (3) classroom interactions. "Selecting the language of tools over the language of objects signals a clearer relationship between mathematics and human activity. Using the modeling or project-based approach, one is forced to reconsider the question of sequencing. Instead of relying on a purely logical analysis to decide how to develop mathematics, one must consider rather what activities students are interested in and familiar with and how these activities relate to other possibilities."
Het gesignaleerde gevaar van een top-down benadering van de hierarchie lijkt me terecht. Nergens in Sfard's publicaties kom ik leerlingenwerk tegen. Het meest wordt logisch deductief of historisch verantwoord. Daarnaast geeft zij in haar artikel On Two Metaphors for Learning and the Dagers of Choosing Just One wijst ze op het belang van de acquisition metafor en de participation metaphor, vooral die laatste komt tegemoet aan de kritiek op het gebrek aan belangstelling voor sociale contexten in reification-theorieen.
Het geschetste alternatief van Confrey en Costa heeft overeenkomsten met probleemstellend en realistisch onderwijs. Bovendien wordt voor uitwerkingen verwezen naar See Doerr, Helen M. .
In een volgend nummer distantieert Tall zich van Sfard en reageert Dubinsky uitvoerig.