| blok 4 | tijd | plaats | hoorcollege | dinsdag 11:00 - 12:45
donderdag 15:15 - 17:00 |
BBG 201
BBG 001 |
werkcollege | dinsdag 9:00 - 10:45
donderdag 13:15 - 15:00 |
Ruppert 002
BBG 001 |
ECTS : 7.5 studiepunten
In dit college wordt eerst de basistheorie van holomorfe functies op een open
verzameling in het complexe vlak behandeld.
In het college zal verder aandacht besteed worden aan: tellen van nulpunten
en singulariteiten, harmonische functies, conforme afbeeldingen en tenslotte
de belangrijke Riemann afbeeldingsstelling.
Het onderwerp heeft toepassingen in nagenoeg alle richtingen in de analyse.
Verder is het noodzakelijke voorkennis bij een college over Riemann
oppervlakken.
Wanneer een functie eenmaal complex differentieerbaar is, is hij ook meteen willekeurig vaak differentieerbaar en wordt hij (lokaal) gegeven door een convergente machtreeks. Dit is heel anders dan in het reële geval en de reden voor de naam holomorfe functie, deze zijn dus complex analytisch (lokaal gegeven door een convergente machtreeks) en willekeurig vaak (zelfs complex) differentieerbaar. Bij het bewijs van deze stelling speelt de Cauchy stelling voor complexe lijnintegralen een grote rol. Van groot belang zijn verder de singulariteiten van complexe functies. Functies met een geïsoleerde singulariteit in een punt p hebben een convergente Laurentreeksontwikkeling rond p (waarin naast positieve ook negatieve machten van de variabele voorkomen). Het residu van zo'n functie in p is de coëfficiënt van de macht -1 in de Laurentreeks. Dit residu kan gebruikt worden voor de berekening van interessante integralen: de zogenaamde residuenrekening.
Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen, daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken. De aangewezen (maar niet de enige) plek hiervoor zijn de werkcolleges. Het is niet te verwachten dat elke week alle opdrachten tijdens het werkcollege gemaakt kunnen worden; dan ga je thuis verder en waar nodig stel je er nog tijdens de volgende werkcollegesessie vragen over. Bovendien zijn er voor elk werkcollege huiswerkopgaven en inleveropgaven. De huisweerkopgaven worden niet ingeleverd, maar in de werkcolleges behandeld. De inleveropgaven mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaven worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald. Het eindcijfer is dan C = min(max((2M+I)/3, M), M+1), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen. De inleveropgaven kunnen dus alleen maar een positieve invloed hebben.
Tentamen (pdf, ps) en hertentamen (pdf, ps) gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.
Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.
Dinsdag 23 April. Werkcollegeopgaves zijn de extra opgaves A-D (pdf, ps) en opgaves 4-6 in §1 van hoofdstuk 1; de extra opgave D is bovendien ook huiswerkopgave (tijdens het werkcollege volstaat het om te bepalen wát moet worden gedaan, de uitvoering ervan kan dan thuis). Hoorcollege: Complexe getallen en functies.
Donderdag 25 April. Werkcollegeopgaves zijn de extra opgave E (pdf, ps), de opgaves 3, 10 in §2 van hoofdstuk 1, de opgaves 1, 2, 4 in §3 van hoofdstuk 1, de extra opgave F, de opgaves 4, 13 in §2 van hoofdstuk 1 en de opgave 3 in §3 van hoofdstuk 1; inleveropgave is de extra opgave G (in te leveren op dinsdag 30.4. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: compacte verzamelingen, (pas later: hoeken onder complex differentieerbare afbeeldingen), Möbius-transformaties.
Dinsdag 30 April. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 5-7 in §4 van hoofdstuk 1, opgave 1 in §1 van hoofdstuk 2 en de opgaves 1, 3, 4 in §2 van hoofdstuk 2; huiswerkopgave is de extra opgave H (pdf, ps). Hoorcollege: Machtreeksen (pas later: formele machtreeksen).
Donderdag 2 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 5 en 10 in §2 van hoofdstuk 2, de opgaves 1 en 2 in §4 van hoofdstuk 2 en opgave 5 in §3 van hoofdstuk 2; inleveropgave zijn de opgaves 1-6 in §3 van hoofdstuk 7 (H is het bovenhalfvlak {Im z > 0}; in te leveren op dinsdag 7.5. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: het lokale maximum modulus principe. De stelling van Cauchy, lokaal.
Dinsdag 7 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 1-4 in §5 van hoofdstuk 2, de opgaves 1 en 2 in §6 van hoofdstuk 2 en opgaves 7 en 11 in §2 van hoofdstuk 2; huiswerkopgave zijn opgave 6 in §2 van hoofdstuk 2 en de extra opgave I (pdf, ps). Hoorcollege: lokale primitieve voor een holomorfe functie, de stelling van Cauchy in homotopie-form.
Donderdag 9 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 5 en 6 in §5 van hoofdstuk 2, de opgaves 2 en 3 in §1 van hoofdstuk 3 en opgaves 3-5 in §6 van hoofdstuk 2; inleveropgave zijn opgaves 8 in §2 van hoofdstuk 2 en de extra opgave J (pdf, ps; in te leveren op dinsdag 14.5. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: de logarithme, de lokale integraalformule van Cauchy. Windingsgetallen en de stelling van Cauchy.
Dinsdag 14 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 2-4 en 6 in §2 van hoofdstuk 3, de opgave 1 in §7 van hoofdstuk 3 en de opgaves 1-4 in §5 van hoofdstuk 3; huiswerkopgave zijn opgave 7 in §2 van hoofdstuk 3 en de extra opgave K (pdf, ps). Hoorcollege: de globale integraalformule van Cauchy, uniforme limieten van analytische functies, formele machtreeksen.
Donderdag 16 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgave 3 in §7 van hoofdstuk 3, de extra opgave L (pdf, ps), de opgaves 1-3 in §2 van hoofdstuk 4 en de opgaves 1 en 2 in §1 van hoofdstuk 5; inleveropgave is de opgave 11 in §1 van hoofdstuk 5 (in te leveren op dinsdag 21.5. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: Toepassingen van de integraalformule van Cauchy.
Dinsdag 21 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 4, 5, 8 en 13 in §2 van hoofdstuk 5, de opgaves 1 en 2 in §3 van hoofdstuk 5 en de opgaves 6 en 7 in §1 van hoofdstuk 2; huiswerkopgave is de extra opgave M (pdf, ps). Hoorcollege: Residuenrekening.
Donderdag 23 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 3-6 in §3 van hoofdstuk 5 en de opgaves 15, 16, 18, 19 en 26 in §1 van hoofdstuk 6; inleveropgave is de opgave 10 in §3 van hoofdstuk 5 (in te leveren op dinsdag 4.6. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: meromorfe functies.
Dinsdag 28 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 1-5 in §2 van hoofdstuk 10 en de opgaves 28, 33, 37 en 38 in §1 van hoofdstuk 6. Hoorcollege: De afbeeldingstelling van Riemann.
Dinsdag 4 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 1 en 8-11 in §2 van hoofdstuk 6 en of [de opgaves 28, 33, 37 en 38 in §1 van hoofdstuk 6] of [de opgaves 1 en 2 in §1 van hoofdstuk 10 en de opgaves 6 en 7 in §2 van hoofdstuk 10]; huiswerkopgave is de extra opgave N (pdf, ps). Hoorcollege: evaluatie van bepaalde integralen, hoeken onder holomorfe afbeeldingen, het bovenhalfvlak, het Lemma van Schwarz.
Donderdag 6 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 13-15 en 18 in §2 van hoofdstuk 6, de opgaves 1 en 2 in §4 van hoofdstuk 7 en de opgave 9 in §3 van hoofdstuk 7; inleveropgave zijn de opgaves 7 en 8 in §3 van hoofdstuk 7 (in te leveren op dinsdag 11.6. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: Conforme afbeeldingen. Constructie van harmonische functies.
Dinsdag 11 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 1 en 2 in §2 van hoofdstuk 7 en de opgaves 1, 3, 4, 6, 7, 11 en 12 in §5 van hoofdstuk 7; huiswerkopgave is opgave 14 in §5 van hoofdstuk 7. Hoorcollege: Harmonische functies.
Donderdag 13 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 3, 5 en 6 in §1 van hoofdstuk 8, de opgave 5 in §2 van hoofdstuk 8, de opgave 9 in §5 van hoofdstuk 8 en de extra opgaves O en P (pdf, ps); huiswerkopgave is de opgave 3 in §2 van hoofdstuk 8. Hoorcollege: Analytische voortzetting. Extra voordracht (pdf, ps) over de stelling van Jordan.
Dinsdag 18 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 2-7 in §3 van hoofdstuk 8 en de opgave 4 in §4 van hoofdstuk 8; huiswerkopgave is de opgave 1 in §3 van hoofdstuk 8. Hoorcollege: voortzetting langs een kromme, bewijs van de afbeeldingstelling van Riemann.
Donderdag 20 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 5-7 in §6 van hoofdstuk 3 en de opgaves 2 en 3 in §1 van hoofdstuk 11. Hoorcollege: gedrag op de rand.