| blok 4 | tijd | plaats | hoorcollege | dinsdag 11:00 - 12:45
donderdag 15:15 - 17:00 |
HFG 611
HFG 611 |
werkcollege | dinsdag 9:00 - 10:45
donderdag 13:15 - 15:00 |
HFG 611
BBG 001, 020, 023 |
ECTS : 7.5 studiepunten
Wanneer een functie eenmaal complex differentieerbaar is, is zij ook meteen willekeurig vaak differentieerbaar en wordt zij (lokaal) gegeven door een convergente machtreeks. Dit is heel anders dan in het reële geval en de reden voor de naam holomorfe functie, deze zijn dus complex analytisch (lokaal gegeven door een convergente machtreeks) en willekeurig vaak (zelfs complex) differentieerbaar. Bij het bewijs van deze stelling speelt de Cauchy stelling voor complexe lijnintegralen een grote rol. Van groot belang zijn verder de singulariteiten van complexe functies. Functies met een geïsoleerde singulariteit in een punt p hebben een convergente Laurentreeksontwikkeling rond p (waarin naast positieve ook negatieve machten van de variabele voorkomen). Het residu van zo'n functie in p is de coëfficiënt van de macht -1 in de Laurentreeks. Dit residu kan gebruikt worden voor de berekening van interessante integralen: de zogenaamde residuenrekening.
Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen, daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken. De aangewezen (maar niet de enige) plek hiervoor zijn de werkcolleges. Het is niet te verwachten dat elke week alle opdrachten tijdens het werkcollege gemaakt kunnen worden; dan ga je thuis verder en waar nodig stel je er nog tijdens de volgende werkcollegesessie vragen over. Bovendien zijn er voor elk werkcollege huiswerkopgaves en inleveropgaves. De huisweerkopgaves worden niet ingeleverd, maar in de werkcolleges behandeld. De inleveropgaves mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaves worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald. Het eindcijfer is dan C = max(min(M+1, (2M+I)/3), M), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen. De inleveropgaves kunnen dus alleen maar een positieve invloed hebben.
Tentamen (pdf, ps) en hertentamen (pdf, ps) gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.
Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaves e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.
Donderdag 29 April. Werkcollegeopgaves zijn de extra opgaves A-D (pdf, ps) en opgaves 4-6 in §1 van hoofdstuk 1; de extra opgave D is bovendien ook huiswerkopgave (tijdens het werkcollege volstaat het om te bepalen wát moet worden gedaan, de uitvoering ervan kan dan thuis). Hoorcollege: Complexe getallen en functies.
Dinsdag 4 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de extra opgave E (pdf, ps), de opgaves 3, 10 in §2 van hoofdstuk 1, de opgaves 1-4 in §3 van hoofdstuk 1, de extra opgave F en de opgaves 4, 13 in §2 van hoofdstuk 1; inleveropgave is de extra opgave G (in te leveren op dinsdag 11.5. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: samenhangende en compacte verzamelingen, (pas later: hoeken onder complex differentieerbare afbeeldingen), Möbius-transformaties.
Donderdag 6 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 5-7 in §4 van hoofdstuk 1, opgave 1 in §1 van hoofdstuk 2 en de opgaves 1, 3, 4 in §2 van hoofdstuk 2; huiswerkopgave is de extra opgave H (pdf, ps). Hoorcollege: Machtreeksen (pas later: formele machtreeksen).
Dinsdag 11 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 5 en 10 in §2 van hoofdstuk 2, de opgaves 1 en 2 in §4 van hoofdstuk 2 en opgave 5 in §3 van hoofdstuk 2; inleveropgave zijn de opgaves 1-6 in §3 van hoofdstuk 7 (H is het bovenhalfvlak {Im z > 0}; in te leveren op dinsdag 18.5. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: het lokale maximum modulus principe. De stelling van Cauchy, lokaal.
Dinsdag 18 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 1-4 in §5 van hoofdstuk 2, de opgaves 1 en 2 in §6 van hoofdstuk 2 en opgaves 7 en 11 in §2 van hoofdstuk 2; huiswerkopgave zijn opgave 6 in §2 van hoofdstuk 2 en de extra opgave I (pdf, ps). Hoorcollege: lokale primitieve voor een holomorfe functie, de stelling van Cauchy in homotopie-form, de logarithme.
Donderdag 20 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 5 en 6 in §5 van hoofdstuk 2, de opgaves 2 en 3 in §1 van hoofdstuk 3 en opgaves 3-5 in §6 van hoofdstuk 2; inleveropgave zijn opgaves 8 in §2 van hoofdstuk 2 en de extra opgave J (pdf, ps; in te leveren op dinsdag 25.5. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: de lokale integraalformule van Cauchy. Windingsgetallen en de stelling van Cauchy.
Dinsdag 25 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 2-4 en 6 in §2 van hoofdstuk 3, de opgave 1 in §7 van hoofdstuk 3 en de opgaves 1-4 in §5 van hoofdstuk 3; huiswerkopgave zijn opgave 7 in §2 van hoofdstuk 3 en de extra opgave K (pdf, ps). Hoorcollege: de globale integraalformule van Cauchy. Toepassingen van de integraalformule van Cauchy, formele machtreeksen. Voor een bewijs van de stelling van Jordan zie de extra voordracht (pdf, ps) van twee jaar geleden.
Donderdag 27 Mei. Werkcollegeopgaves zijn de opgave 3 in §7 van hoofdstuk 3, de extra opgave L (pdf, ps), de opgaves 1-3 in §2 van hoofdstuk 4 en de opgaves 1 en 2 in §1 van hoofdstuk 5; inleveropgave is de opgave 11 in §1 van hoofdstuk 5 (in te leveren op dinsdag 1.6. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: geïsoleerde singulariteiten. Residuenrekening.
Dinsdag 1 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 4 en 8 in §2 van hoofdstuk 5, de opgaves 2, 3 en 6 in §3 van hoofdstuk 5 en de opgaves 6 en 7 in §1 van hoofdstuk 2; huiswerkopgave is de extra opgave M (pdf, ps). Hoorcollege: meromorfe functies.
Donderdag 3 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 1, 4 en 5 in §3 van hoofdstuk 5 en de opgaves 15, 16, 18, 28, 33, 37 en 38 in §1 van hoofdstuk 6; inleveropgave is de opgave 10 in §3 van hoofdstuk 5 (in te leveren op dinsdag 8.6. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: evaluatie van bepaalde integralen, hoeken onder holomorfe afbeeldingen.
Dinsdag 8 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 1, 8-15 en 18 in §2 van hoofdstuk 6; huiswerkopgave is de extra opgave N (pdf, ps). Hoorcollege: Conforme afbeeldingen.
Donderdag 10 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 1 en 2 in §2 van hoofdstuk 7, de opgaves 1 en 2 in §4 van hoofdstuk 7, de opgaves 1, 6 en 7 in §5 van hoofdstuk 7 en de opgave 9 in §3 van hoofdstuk 7; inleveropgave zijn de opgaves 7 en 8 in §3 van hoofdstuk 7 (in te leveren op dinsdag 15.6. aan het begin van het werkcollege). Hoorcollege: existentie en eenduidigheid Möbius-transformaties. Harmonische functies.
Dinsdag 15 Juni. Werkcollegeopgaves zijn opgaves 3, 4, 11 en 12 in §5 van hoofdstuk 7, de opgaves 3, 5 en 6 in §1 van hoofdstuk 8, de opgave 5 in §2 van hoofdstuk 8 en de extra opgave O (pdf, ps); huiswerkopgave is de opgave 3 in §2 van hoofdstuk 8. Hoorcollege: equipotentiaallijnen, holomorfe uitbreiding van harmonische functies. Analytische voortzetting langs een kromme.
Donderdag 17 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgaves 2-7 in §3 van hoofdstuk 8 en de extra opgave P (pdf, ps); huiswerkopgave is de opgave 1 in §3 van hoofdstuk 8. Hoorcollege: monodromiestellingen, Riemannse oppervlakken van wortel en logarithme. De afbeeldingstelling van Riemann.
Dinsdag 22 Juni. Werkcollegeopgaves zijn de opgave 4 in §4 van hoofdstuk 8, de opgaves 6 en 7 in §6 van hoofdstuk 3, de opgaves 2 en 3 in §1 van hoofdstuk 11 en opgave 2 in §1 van hoofdstuk 10; huiswerkopgave is de opgave 6 in §2 van hoofdstuk 10. Hoorcollege: bewijs van de afbeeldingstelling van Riemann, gedrag op de rand.
Donderdag 20 Juni. Werkcollegeopgaves zijn opgaves 7 in §2 van hoofdstuk 10, opgave 1 in §1 van hoofdstuk 10 en de opgaves 1-5 in §2 van hoofdstuk 10.