Inleiding Analyse

Heinz Hanßmann, Arjen Baarsma, Timo Kluck, João Mestre Fernandes Da Silva, Shan Shah, Jan van Zweeden

blok 4	tijd	plaats
hoorcollege	dinsdag 13:15 - 15:00 donderdag 9:00 - 10:45	ANDRO C101
werkcollege	maandag 13:15 - 15:00	BBL 103 Arjen Baarsma en Leslie Molag HFG 611 Timo Kluck en Leonie van Steijn MIN 207 Shan Shah en Tom Bannink BBL 106 Jan van Zweeden en Maxim Waller BBL 109 João Mestre en Ludo Vromen
werkcollege	dinsdag 15:15 - 17:00	BBL 023 Arjen Baarsma en Leslie Molag HFG 611 Timo Kluck en Leonie van Steijn BBL 071 Shan Shah en Tom Bannink BBL 077 Jan van Zweeden en Maxim Waller BBL 075 João Mestre en Ludo Vromen
werkcollege	donderdag 11:00 - 12:45	BBL 023 Arjen Baarsma en Leslie Molag HFG 611 Timo Kluck en Leonie van Steijn BBL 071 Shan Shah en Tom Bannink BBL 106 Jan van Zweeden en Maxim Waller BBL 005 João Mestre en Ludo Vromen

ECTS : 7.5 studiepunten

Op de maandagen 29 april en 6 mei vindt het werkcollege groep 2 (Timo Kluck en Leonie van Steijn) plaats in MIN 025, verder altijd zaal 611 van het Hans Freudenthalgebouw; in de eerste week op donderdag 25 april vindt het werkcollege groep 5 (João Mestre en Ludo Vromen) plaats in BBL 007, verder op donderdagen BBL 005.

In de cursus Inleiding Analyse worden enkele fundamentele onderwerpen uit de analyse op Rⁿ behandeld. Sommige van deze onderwerpen zijn reeds aangeroerd bij de colleges Infinitesimaalrekening. Daar lag echter de nadruk op het werken en rekenen met de begrippen, terwijl hier de nadruk ligt op het begrijpen, formuleren en bewijzen. Op de werkcolleges zal geoefend worden in het bewijzen van resultaten en het helder en volledig opschrijven daarvan.

Er worden in deze cursus ook nieuwe onderwerpen aangeboord die een andere kijk op de analyse geven dan de infinitesimaalrekening en die fundamenteel zijn voor een verdere opbouw van de analyse. Hierdoor word je voorbereid op colleges van niveau 2.

Onderwerpen die aan de orde komen zijn

taal der metrische ruimten, open en gesloten verzamelingen

limieten, continuiteit in Rⁿ

differentieerbaarheid in R

volledigheid en Bolzano-Weierstrass in Rⁿ

maximum- en minimumstelling voor continue functies

middelwaardestellingen, Taylor met rest

uniforme continuïteit in Rⁿ

integreerbaarheid in R

Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. In dit college zijn er daarom naast twee hoorcolleges drie werkcolleges per week. Iedere week zijn er twee vraagstukken tot verplichte inleveropgaves benoemd. Voor elke inleveropgave is er minstens een week tijd; de deadline voor de opgave die op 25 april wordt opgegeven (zie het rooster) is bv. donderdag 2 mei 11:00.

Studenten die de inleveropgaven op tijd de eerste keer ingeleverd hebben krijgen de opgaven gecorrigeerd terug en hebben dan nog éénmaal de gelegenheid hun fouten te verbeteren; de deadline voor het inleveren van een nieuwe tweede versie van de opgave is een week nadat de gecorrigeerde opgave op het werkcollege is aangeboden. Uiterlijk de tweede keer dat de opgave wordt ingeleverd wordt een definitieve beoordeling vastgesteld.

Eerste tentamengelegenheid: de stof wordt getoetst een tentamen (pdf, ps) dat voor 90% telt; de beoordelingen van de inleveropgaven tellen voor 10% mee. In het verleden is gebleken dat de kans dat je het tentamen haalt zonder de inleveropgaven behoorlijk te maken erg klein is.

Tweede tentamengelegenheid: er is een hertentamen (pdf, ps), de inleveropgaven tellen hierbij niet mee. De inleveropgaven tellen ook niet mee voor het tentamen (pdf, ps) analyse B.

Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.

Literatuur

Bij het college wordt gebruik gemaakt van het dictaat Inleiding Analyse van Erik van den Ban, samen met de Opgaven verkrijgbaar bij de dictaatverkoop van A-Eskwadraat.

Het vak analyse staat centraal in elke wiskundeopleiding en er zijn talloze boeken verschenen, waaronder:

T.M. Apostol

Mathematical analysis, second edition

Addison-Wesley (1974)

J. Dieudonné

Foundations of Modern Analysis

Academic Press (1960)

A. van Rooij

Analyse voor Beginners, 4e druk

Epsilon Uitgaven, no. 6 (2003)

R.S. Strichartz

The way of analysis

Jones and Bartlett Mathematics (2000)

Webcolleges

In 2011 werden de (toen gescheiden) hoorcolleges Analyse A en Analyse B op video opgenomen en zijn als webcolleges beschikbaar. De volgorde is sindsdien veranderd, voor een bepald onderwerp kan eerst worden opgezocht in welk hoorcollege het toen werd behandeld en dan het betreffende webcollege worden bekeken. In het tweede gedeelte zal de volgorde meer overeenstemmen; ook dan kan voor een bepald onderwerp eerst worden opgezocht in welk hoorcollege het toen werd behandeld en dan het betreffende webcollege worden bekeken.

Rooster

We gaan aan het begin een beetje heen en weer door het diktaat (daarom staan er altijd ook de sectie-nummers naast de inhouden).

23.4. Limieten van functies (1.2), metrische ruimten (2.3).

23.4.: 1.1(b), 1.2(a), 1.3, 1.5, 2.5; 1.4, 1.6.

25.4. De afstand in Rⁿ (1.1), metrische ruimten (2.3). Zelf lezen: kwadratische functies (1.7).

25.4.: 2.6, 2.7, 1.11, 1.16, 2.2; 2.1, 1.12, 2.3, inleveropgave voor 2.5. is 1.29.

29.4.: 2.9, 2.10, 1.7, 2.12, 2.13; 1.15, 2.16, 2.17, inleveropgave voor 6.5. is 2.18.

2.5. Rekenregels voor limieten (1.3 en 2.4), continuïteit (2.3). Zelf lezen: verzamelingen en afbeeldingen (2.5).

2.5.: 1.35, 1.2(b), 1.36, 2.8, 2.20; 1.34, 1.37, inleveropgave voor 13.5. is 1.30.

6.5.: 2.4, 1.14, 1.38, 1.9, 1.10; 2.14, 1.21, 1.22, inleveropgave voor 14.5. is 2.22

7.5. Continuïteit in metrische ruimten (1.5, 2.2 en 2.3), limieten van rijen (3.1). Zelf lezen: het visualiseren van functies van meer veranderlijken (2.1).

7.5.: 1.23, 1.17, 2.21, 3.1, 3.10; 1.31, 3.2(a-c), 1.18.

13.5.: 1.42, 2.19, 3.11, 3.30, 1.20; 3.34, 1.43, 3.2(d-f), inleveropgave voor 27.5. is 3.31;

14.5. Deelrijen (4.2), limieten en ongelijkheden (1.4, 2.4 en 3.1), afwijkende definitie van limiet, linker- en rechter limiet, oneigenlijke limiet (1.8 en 2.6), rekenregels voor differentiëren (1.6).

14.5.: 1.24, 2.11, 1.27, 1.40, 3.9; 3.12, 1.33, 1.44.

16.5. Rekenregels voor differentiëren (1.6), de volledigheid van R (3.2), de tussenwaardestelling (3.4), boven- en ondergrenzen, max en min, sup en inf (3.3). Zelf lezen: rationale getallen (8.1).

16.5.: 1.25, 1.19, 2.15, 3.14, 1.41; 1.26, 1.39, 3.13, inleveropgave voor 30.5. is 1.32;

23.5. (extra werkcollege 13:15-15:00 in BBL 023): wat is blijven liggen en vragen.

27.5.: 3.18, 3.20, 3.21, 3.24, 3.25; 1.13, 3.19, 1.8, inleveropgave voor 3.6. is 1.28.

28.5. Sup en inf zijn limietpunten (3.3), monotone rijen (3.5), de stelling van Bolzano-Weierstraß (4.2), rijcompactheid (4.5).

28.5.: 3.7, 3.22, 3.8, 3.4, 3.3; 3.5, 3.15, 3.6.

30.5. Rijcompactheid en de maximum-minimum stelling (4.1 en 4.5), Cauchy-rijen en volledigheid (4.3), de contractiestelling (4.4). Zelf lezen: reële getallen (8.2).

30.5.: 3.17, 3.26, 3.28, 4.8, 4.4; 3.33, 4.1, 3.32, inleveropgave voor 6.6. is 3.29.

3.6.: 4.2, 4.3, 3.27, 4.30, 4.18; 4.6, 4.5, inleveropgave voor 10.6. is 4.24.

4.6. Partiële afgeleiden (4.6), extrema (4.7), rijcompactheid en uniforme continuïteit (4.8).

4.6.: 4.10, 4.11, 3.16, 4.20, 4.7; 4.28, 4.12.

6.6. Rijcompactheid en uniforme continuïteit (4.8), inversen van continue functies (5.1).

6.6.: 4.26, 4.25, 4.17 (is f ook uniform continu?), 4.29, 4.19; 4.14, 4.13, inleveropgave voor 13.6. is 4.23 (en deze mag maar één keer worden ingeleverd, zonder herstelmogelijkheid).

10.6.: 4.15, 5.7, 4.16, 5.6; 4.32, 4.22, inleveropgave voor 17.6. is 5.2 (en deze mag maar één keer worden ingeleverd, zonder herstelmogelijkheid).

11.6. Inversen van differentieerbare functies (5.2), de stelling van Rolle (6.1), middelwaardestellingen (6.3 en 6.1), de regel van de l'Hôpital (6.3). Zelf lezen: de exponentiële functie (6.2).

11.6.: 5.1, 6.5, 5.8, 6.7; 4.9, 6.9, 6.10.

13.6. De formule van Taylor (6.4), verlanglijstje integraal, definities.

13.6.: 6.8(a-c), 6.6, 5.5, 6.2; 5.3, 4.21, 5.4, inleveropgave voor 20.6. is 6.16 (en deze mag maar één keer worden ingeleverd, zonder herstelmogelijkheid).

17.6.: 6.17, 6.12, 6.4, 6.15; 6.20, 6.1, 6.8(d-f).

18.6. De Cauchy-integraal (pdf, ps). Rekenregels (7.2 en 7.6), integratie van continue functies (7.4), primitieven (7.5).

18.6.: 7.11 (lees Cauchy-integreerbaar), 6.19, 6.18, 6.14; 6.13, 6.8(g-i), 4.27.

20.6. De Riemann-integraal (hoofdstuk 7). Riemann-sommen (7.7), eigenschappen van Riemann-integratie (7.3), definitie van de Riemann-integraal (7.1).

20.6.: 7.1, 7.2, 7.5, 7.8; 6.3, 6.11, 7.13 (lees Cauchy-integreerbaar).

24.6.: 7.12, 7.3, 7.6, 7.10; 7.14, 7.9, 7.7.

25.6. en 27.6: wat is blijven liggen en vragen.