Inhoud van deze pagina:
De logica, als deelgebied van de wiskunde, heeft twee dominante thema's: Bewijzen en Berekenen.
Als wiskundige werk je vaak met axioma's, van waaruit je stellingen bewijst. Dit proces wordt geanalyseerd in de logica. Ten eerste wordt een zg. formele taal ingevoerd, waarin wiskundige uitspraken kunnen worden opgeschreven: met variabelen, logische tekens voor "en", "of", "niet" enz., kwantoren "er is" en "voor alle", en speciale tekens voor bijzondere elementen, operaties of relaties die van situatie tot situatie verschillen.
De "uitspraken" van deze formele taal kunnen worden geïnterpreteerd in "echte" wiskundige structuren, en kunnen daar "waar" of "onwaar" zijn; de uitspraak "2 is een kwadraat" is bijvoorbeeld waar in R, maar onwaar in Q.
Een "formeel bewijs" is een collectie formele uitspraken, die de structuur heeft van een boom, waarbij de wortel van de boom de conclusie van het bewijs weergeeft, en de bladeren de vooronderstellingen.
De belangrijkste stelling (de "Volledigheidsstelling" van Gödel; niet te verwarren met de "Onvolledigheidsstellingen" van dezelfde man) luidt, dat voor een formele uitspraak een bewijs bestaat, precies dan als deze uitspraak waar is in elke mogelijke interpretatie.
Dit gezichtspunt stelt ons in staat, ook te bewijzen, dat er soms voor een wiskundige uitspraak geen bewijs bestaan kan. Bijvoorbeeld: de zg. "Continuum-hypothese van Cantor" die stelt dat elke deelverzameling van R hetzij aftelbaar, hetzij van dezelfde kardinaliteit is als R. Bewezen is, dat deze uitspraak niet bewezen kan worden. Hij is daarom nog niet onwaar, want ook zijn ontkenning kan niet bewezen worden!
Het andere thema, berekenen, gaat over de vraag: voor welk soort beslissingskwesties in de wiskunde zijn algoritmen te verzinnen waarmee een computer altijd het goede antwoord kan geven? Voorbeeld: gesteld, men wil uitmaken of een reëel getal, gegeven als een convergente rij rationale getallen, groter dan 0, kleiner dan 0 of gelijk aan 0 is. De computer kan, successievelijk, steeds een element van de rij opvragen en met alle opgevraagde elementen rekenen (we kunnen de computer ook informatie geven over hoe snel de rij convergeert). Er is geen programma mogelijk, dat altijd het juiste antwoord geeft!
Uitgaande van een formele definitie van "algoritme", komen we tot het begrip "berekenbare functie": een berekenbare functie van N naar N (of van Z naar Z) is een functie waarvoor zo'n algoritme bestaat.
Een belangrijke stelling hier gaat over het beeld van zo'n berekenbare functie. Noem een verzameling k-tallen van elementen van Z algebraïsch als het de verzameling nulpunten is van een veelterm in k variabelen en coëfficiënten uit Z. Er geldt de stelling van Matyasevic: een deelverzameling van Z treedt op als beeld van een berekenbare functie, precies dan als hij de projectie is van een algebraïsche verzameling k-tallen (voor zekere k). Met behulp hiervan kan je laten zien, dat er geen algoritme is dat uitmaakt, of een gegeven veelterm met coëfficiënten uit Z nulpunten heeft in Z.
Naar Inhoudsopgave
Logica is, heb je misschien al opgemaakt uit bovenstaande beschrijving, een abstract vak. Toepassingen binnen de wiskunde (en ook daarbuiten) zijn van theoretische aard. Verder is het nogal een combinatorisch vak: we bewijzen (als we het over "formele bewijzen" of over algoritmen hebben) dingen over discrete, eindige structuren. De ervaring leert, dat wie algebra leuk vindt, logica vaak ook leuk vindt. Vond je "Wat is Wiskunde?" leuk en wil je graag meer weten over verzamelingen, kardinaliteiten enz., dan moet je zeker eens gaan kijken bij het vak Grondslagen (zie ook hier); op mijn onderwijspagina kun je het dictaat "Sets, Models and Proofs" inkijken.
Naar Inhoudsopgave
De cursus Grondslagen wordt ieder jaar gegeven in de herfst, en is het basis-college. Het is een niveau 3-vak; te volgen door tweede- of derdejaars studenten. Wat voorkennis betreft, is het handig als je een algebravak (Groepentheorie en Ringen en Galois) gevolgd hebt of gelijktijdig volgt. De cursus begint als een direct vervolg op de cursus "Wat is Wiskunde?" uit het eerste jaar: we vertellen meer over verzamelingen, kardinaliteiten, welordeningen, het Keuze-axioma. Daarna wordt het hierboven geschetste "formeel bewijs"-perspectief uitgewerkt tot en met de Volledigheidsstelling. De cursus geeft ook een allereerste introductie tot begrippen van de modeltheorie, en in het laatste hoofdstuk worden de axioma's van de formele verzamelingenleer behandeld.
Als vervolg op Grondslagen worden ieder jaar mastercursussen in de Logica gegeven, de meeste in het kader van Mastermath, in ieder geval twee per jaar. De vakken veranderen elk jaar, zodat je minstens vier Logicacurcussen op masterniveau kunt doen. Voorbeelden van zulke vervolgvakken zijn:
Vervolgens wordt in de masterfase met grote regelmaat een studentenseminarium georganiseerd. In de herfst van 2001 heb ik een studentenseminarium modeltheorie gehouden, voortbouwend op het college Modeltheorie van het jaar ervoor. In het voorjaar van 2002 is er een seminarium kategorieëntheorie geweest, voor studenten en staf. In de herfst van 2002 was er een studentenseminarium Intuïtionisme. In de herfst van 2013 een studentenseminarium over Hilbert's Tiende Probleem. Merk op dat het vanaf 2013 verplicht is, een seminarium inje programma op te nemen!
Op dit moment ben ik (Jaap van Oosten) de enige docent die Logicavakken geeft.
Naar Inhoudsopgave
Een belangrijke Utrechtse specialiteit is de zogeheten Categorische Logica. Een categorie bestaat uit een collectie objecten, en een collectie morfismen; elk morfisme "gaat" van een object naar een ander object. Morfismen kunnen worden samengesteld, en deze samenstelling is associatief. Denk aan: verzamelingen en functies, groepen en homomorfismen, topologische ruimten en continue afbeeldingen. Categorische Logica ziet de Logica als een categorische constructie. Een belangrijk soort categorieën zijn zg. topoi. Een topos is een categorie waarin de meeste constructies, die je met verzamelingen kan uitvoeren (zoals de machtsverzameling vormen), gedaan kunnen worden; het is een "niet-standaard universum van verzamelingen". Echter, de logica die hierbij hoort is de zg. intuïtionistische logica: gebruik van het "uitgesloten derde" is niet toegestaan. Een voorbeeld van een topos is de categorie van schoven op een topologische ruimte X. Er zijn ook topoi gedefinieerd m.b.v. het begrippenapparaat van de Recursietheorie.
Een recente afstudeerscriptie gaat over connecties tussen topos theorie en Modeltheorie.
De theorie van topoi wordt ook bestudeerd in de theoretische Informatica. Recentelijk is er zelfs belangstelling ontstaan voor topoi binnen de theoretische fysica.
Een andere recente afstudeerscriptie gaat over niet-standaard modellen van de rekenkunde. De Peano rekenkunde is een verzameling axioma's die beoogt, de natuurlijke getallen te karakteriseren: met 0,1, optelling en vermenigvuldiging. Er zijn natuurlijk ook axioma's voor inductie. Echter, er zijn ook niet-standaard modellen van deze axioma's, modellen waarin zich "niet-standaard" (oneindig grote) getallen bevinden. Stel nu, ik heb zo'n niet-standaard model M met een niet-standaard priemgetal p. Als ik de getallen uit M "modulo p" neem, krijg ik een oneindig lichaam van karakteristiek 0. Welke lichamen zijn op deze manier te maken? Dit hangt er vanaf, aan welke inductie-axioma's M voldoet.
Een andere vraag op dit terrein is: welke inductie-axioma's zijn er precies nodig om te kunnen bewijzen, dat er oneindig veel priemgetallen zijn?
Een in de Logica afgestudeerde student Wiskunde die geïnteresseerd is in onderzoek, heeft allerlei mogelijkheden. Afgezien van een mogelijk AIO-schap bij Wiskunde zijn er doorgaans goede mogelijkheden bij Informatica, omdat de technieken die in de Logica gebruikt worden, veel verwantschap hebben met de, merendeels discrete, wiskunde (en de theorie van "formele talen") die in de Informatica worden gebruikt.
Maar ook bij Wijsbegeerte wordt aan Mathematische Logica gedaan, vaak door wiskundigen. In Utrecht is er een goede samenwerking tussen Logica bij Wiskunde, en de Theoretische Filosofie groep. Er is een gezamenlijk research seminarium, dat ook voor afstudeerstudenten interessant is.
Ook bij Letteren wordt aan logica gedaan, in het onderzoek naar grammatica's voor natuurlijke talen. De grammatica's van Chomsky en Montague vertonen grote overeenkomst met de "formele taal" van de Logica. Dit onderzoek staat nog in de kinderschoenen, dus voor een vindingrijk en toepassingsgericht persoon is hier heel wat te doen!
En natuurlijk staan alle andere opties, die een afgestudeerd wiskundige heeft, gewoon open. Het vak Grondslagen, tenslotte, kan ook interessant zijn voor wie het leraarschap ambieert, hoewel de middelbare school steeds minder tijd heeft voor fundamentele zaken. Ik had vroeger een leraar, die ons in de vijfde klas vertelde over Russell's paradox, de diagonaalmethode van Cantor, en ordinaalgetallen, en ik vond dat geweldig spannend.
Naar Inhoudsopgave
Terug naar mijn onderwijspagina