Many students seem unable and unwilling to complete their calculus course. Therfor Kaput examins the content: What is it? What are the objectives, methods, and, especially, its representations? In order to do this he looks to history, the major underlying ideas of calculus for clues regarding how calculus might be taught from elementary onwards. Kaput looks closely to the dynamic graphical means for representing important calculus ideas.
Uitvoerig hoofdstuk. Part 1: a framework for thinking about notations. Part 2: historical background verweven met reflectie op problemen rond notaties en representaties: the evolution of representations of abstract relations and the invention of calculus.
N.a.v. bestuderen van Oresme's bijdrage aan calculus: "The standard approach to teaching children the beginnings of graphical representation of quantities and relationships among them has not systematically used bar graphs, despite the fact that such graphs are frequently used to represent categorical or discrete data."
Kaput citeert Boyer m.b.t. algebra & calculus: "This literal symbolism was absolutely essential to the rapid progress of analytic geometry and calculus in the following centuries, for it permitted the concepts of variability and functionality to enter algebraic thought." (op p.108)
Het blijkt dat Newton bleef denken over de meetkundige punten (entities) in een assenstelsel als voortgebracht door de continue beweging van punten, lijnen en vlakken. Kaput citeert weer Boyer die beschrijft hoe bij Newton de y-coördinaat de snelheid van een groeiende oppervlakte beschrijft en de x-coördinaat de tijd. Dat vervolgens blijkt dat Newton's beschrijvingen precies de ideeën van Oresme en Galileo verwoorden, met als verschil dat zij producten van kleine internallen sommeerden, terwijl Newton de oppervlakte onder de grafiek berekende met momentane veranderingen (instantaneous rate of change).
Over Leibniz citeert Kaput precies dat ene stukje uit Edwards. "This is the geius of Leibniz's contribution. One can mechanically `ride' the syntax of the notation without needing to think through the semantics."
N.a.v. the algebraic universe: "any (...) teacher of calculus will recognize this algebraic view of the mathematical world at work when students are asked to prove the existence of a limit, where, for the students, the essence of the process is in the algebraic maneuvers".
Newton and the role motion imagery. Leibniz and the power of notations. Action notation systems, graphic action representations. The interplay of geometric and formal algebraic reasoning. En: implications for curriculum design. Van alles komt aan de orde. De oplossing ligt in MathCars: dynamic interactive media.
Major historical factors which will be woven into recommendations:
1. early attempts at mathematizing variation before algebra,
2. Newton's heavenly reliance on motion imagery,
3. Leibniz reliance on the role of symbols and the conceptual role of finite difference calculus, and
4. subtle shifts between the 16th and 19th centuries.
Kaput verwijst naar Strang voor een overweging om discreet te beginnen. Hij heeft aangetoond hoe je discrete versies van allerlei basisfuncties kunt behandelen om de inverse relatie in The fundamental theorem of calculus te ontwikkelen.
Vervolgens benadrukt Kaput dat je nog zonder formeel symbolisch gereedschap kunt beginnen met het mathematiseren van verandering zoals Oresme deed, met numerieke en grafische methoden en redeneringen.
Daarchter zit commentaar van Dubinsky. Komt er vooral op neer dat er meer onderzoek met leerlingen moet worden gedaan.