| blok 1 en 2 | tijd | plaats | hoorcollege | woensdag 11:00 - 12:45 | MIN 211 | werkcollege | vrijdag 11:00 - 12:45 | MI 611 |
ECTS : 7.5 studiepunten
Naast R^n en C^n zijn functieruimten zoals C[0,1]
de belangrijkste voorbeelden van vectorruimten.
Hierop is nog steeds de theorie uit lineaire algebra van toepassing, maar
zodra men naast eindige lineaire combinaties ook oneindige reeksen wil
gebruiken komt de analyse om de hoek kijken.
Functionaalanalyse is een erg successvol huwelijk van deze twee gebieden,
waarmee men tal van wiskundige problemen aankan.
In deze cursus komen de eenvoudigste vragen van deze theorie aan de orde - wat zijn Banachruimten en Hilbertruimten en waarom zijn deze belangrijk? Hoe kan men lineaire afbeeldingen tussen oneindigdimensionale vectorruimten diagonaliseren? We zullen zien dat men met de voor eindigdimensionale vectorruimten opgebouwde intuïtie een heel eind komt en waar geheel nieuwe aspecten belangrijk worden. Bij het college zal het programma van vorig jaar gevolgd worden.
Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken, bovendien zijn er iedere week twee inleveropgaven. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als een grotere groep per sé samen wil inleveren even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaven worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald (waarin het laagste resultaat niet meetelt). Het eindcijfer is dan C = min(max((I+M)/2, M), M+1), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen. De inleveropgaven kunnen dus alleen maar een positieve invloed hebben.
Tentamen (pdf, ps) en hertentamen (pdf, ps) gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.
Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.
In het diktaat (.pdf, .ps) is bovendien per hoofdstuk aangegeven waar de behandelde stof in onderstaande boeken terug te vinden is.
15.9. Inleiding. Inproduct, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, norm, volledigheid, Hilbertruimte en Banachruimte, de stelling van Baire. Werkcollegeopgaven A.6 en 1.20, huiswerk A.16 en 1.21, inleveropgaven 1.2 en 1.18 - in te leveren op woensdag 22 September (11:00).
22.9. Banachruimten en lineaire operatoren. Stelling van Baire, deelruimte, lineaire afbeeldingen, duale ruimte, completering, beste benadering binnen gesloten deelruimten van Hilbertruimten, orthogonale supplementen van gesloten deelruimten. Werkcollegeopgaven 2.11 en 4.7, huiswerk 3.17 en 3.11, inleveropgaven 3.18 en 2.14 - in te leveren op woensdag 29 September (11:00).
29.9. Meetkunde van Hilbertruimten. Orthogonale supplementen van gesloten deelruimten, duale ruimte van een Hilbertruimte, (complete) orthonormaalsystemen, Fouriertheorie in L^2[0,1]. Werkcollegeopgaven 4.24 en 4.26, huiswerk 4.11 en 4.28, inleveropgaven 4.20 en 4.33 - in te leveren op woensdag 6 October (11:00).
6.10. Fouriertheorie in L^2[0,1], unitaire operatoren, compacte verzamelingen, normequivalentie in eindige dimensie, alleen eindigdimensionale Banachruimten zijn lokaal compact, stelling van Arzelà-Ascoli. Werkcollegeopgaven 5.5 en 5.23, huiswerk 4.16 en 5.15, inleveropgaven 5.8 en 4.30 - in te leveren op woensdag 13 October (11:00).
13.10. Stellingen van Arzelà-Ascoli en Stone-Weierstraß, L(E) is Banachalgebra, voorbeeld integraaloperator. Werkcollegeopgaven 5.9 en 5.17, huiswerk 5.12 en 5.14, inleveropgaven 5.13 en 5.16 - in te leveren op woensdag 20 October (11:00).
20.10. Begrensde operatoren. Voorbeeld shiftoperator op l^2, open mapping theorem, definitie en eigenschappen spectrum. Werkcollegeopgaven 6.4 en 6.28, huiswerk 6.22 en 6.11, inleveropgaven 6.19 en 6.15 - in te leveren op woensdag 27 October (11:00).
27.10. Compacte operatoren. Definitie en eigenschappen, Riesz theorie, approximatie door operatoren van eindige rang, diagonalizeren. Werkcollegeopgaven 7.2 en 7.3, huiswerk 7.8 en 7.26, inleveropgaven 7.9 en 7.5 - in te leveren op woensdag 3 November (11:00).
3.11. Zelfgeadjungeerde operatoren. Orthogonale invariante deelruimten, inverteerbarheid, eigenschappen spectrum, spectraalstelling voor zelfgeadjungeerde compacte operatoren. Werkcollegeopgaven 8.6 en 8.4, huiswerk 8.11 en 8.8, inleveropgaven 8.12 en 8.25 - in te leveren op woensdag 17 November (11:00).
17.11. Integraalvergelijkingen. Fredholmalternatief, spectraalstelling, Schrödingervergelijking, vermenigvuldigingsoperator, Laplaceoperator, Greense functie. Werkcollegeopgaven 9.2 en 9.3, huiswerk 9.5 en 8.2, inleveropgaven 9.6 en 9.7 - in te leveren op woensdag 24 November (11:00).
24.11. Sturm-Liouville theorie. Spectraalstelling, geadjungeerde operator, existentie, eigenschappen en voorbeelden, toepassing op de Riesz theorie. Werkcollegeopgaven 9.4 en 9.15, huiswerk 8.24 en 10.2, inleveropgaven 10.3 en 9.16 - in te leveren op woensdag 1 December (11:00).
1.12. Operatoren in Hilbertruimten. Partiële isometrie, L(H) is C*-algebra, normale elementen/operatoren, spectraalstelling voor compacte normale operatoren in Hilbertruimten, functionaalrekening. Werkcollegeopgaven 10.5 en 10.11, huiswerk 10.8 en 10.12, inleveropgaven 10.7 en 10.21 - in te leveren op woensdag 8 December (11:00).
8.12. Polaire decompositie, Hilbert-Schmidt operatoren, definitie en voorbeelden Fredholm-operatoren. Werkcollegeopgaven 10.10 en 10.26, huiswerk 10.13 en 10.27, inleveropgaven 10.36 en 10.18 - in te leveren op woensdag 15 December (11:00).
15.12. Fredholm-operatoren. Voorbeeld identiteit+compacte operator, geadjungeerde en compositie van Fredholm-operatoren, Calkinalgebra, parametrix, continuïteit van de index, boogsamenhangscomponenten. Werkcollegeopgaven 11.2 en 11.3, huiswerk 11.5 en 11.7, inleveropgaven 11.4 en 11.9 - in te leveren op woensdag 22 December (11:00).
22.12. Spectraalwaarden. Puntspectrum, continu spectrum, restspectrum, essentieel spectrum, rand van het spectrum, geïsoleerde eigenwaarden. Werkcollegeopgaven 12.2 en 12.5, huiswerk 12.4 en 12.7, kerstopgaven (.pdf, .ps).