| blok 1 en 2 | tijd | plaats | hoorcollege | dinsdag 9:00 - 10:45 | MIN 202 | werkcollege | vrijdag 11:00 - 12:45 | BBL 430 |
ECTS : 7.5 studiepunten
Naast R^n en C^n zijn functieruimten zoals C[0,1]
de belangrijkste voorbeelden van vectorruimten.
Hierop is nog steeds de theorie uit lineaire algebra van toepassing, maar
zodra men naast eindige lineaire combinaties ook oneindige reeksen wil
gebruiken komt de analyse om de hoek kijken.
Functionaalanalyse is een erg successvol huwelijk van deze twee gebieden,
waarmee men tal van wiskundige problemen aankan.
In deze cursus komen de eenvoudigste vragen van deze theorie aan de orde - wat zijn Banachruimten en Hilbertruimten en waarom zijn deze belangrijk? Hoe kan men lineaire afbeeldingen tussen oneindigdimensionale vectorruimten diagonaliseren? We zullen zien dat men met de voor eindigdimensionale vectorruimten opgebouwde intuitie een heel eind komt en waar geheel nieuwe aspecten belangrijk worden. Bij het college zal het programma van vorig jaar gevolgd worden.
Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken, bovendien zijn er iedere week twee inleveropgaven. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaven worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald (waarin het laagste resultaat niet meetelt). Het eindcijfer is dan C = max((I+M)/2, M), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen; indien dit laatste niet voldoende is (zes of hoger) kan C echter niet hoger dan M+1 zijn. De inleveropgaven kunnen dus alleen maar een positieve invloed hebben.
Tentamen (pdf, ps) en hertentamen (pdf, ps) gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.
Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.
In het diktaat (.pdf, .ps) is bovendien per hoofdstuk aangegeven waar de behandelde stof in onderstaande boeken terug te vinden is.
8.9. Inleiding. Metriek, norm, volledigheid en Banachruimte, inproduct, Hilbertruimte, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz. Opgaven voor werkcollege, huiswerk en inleveropgaven (.pdf, .ps).
15.9. Topologie van metrische ruimten. Stelling van Baire. Deelruimte en quotientruimte, lineaire afbeeldingen, directe som, homomorfiestelling. Werkcollegeopgaven 2.7 en 3.9, huiswerk 2.3 en 2.9, inleveropgaven 1.15 en 2.5 - in te leveren op dinsdag 22 September (9:00).
22.9. Banachruimten en lineaire operatoren. Duale ruimte, completering. Bestapproximatie binnen gesloten deelruimten van Hilbertruimten, orthogonale supplementen van gesloten deelruimten, duale ruimte van een Hilbertruimte. Werkcollegeopgaven 3.2 en 4.3, huiswerk 3.10 en 4.5, inleveropgaven 3.11 en 4.13 - in te leveren op dinsdag 29 September (9:00).
29.9. Meetkunde van Hilbertruimten. (Complete) orthonormaalsystemen, Fouriertheorie in L^2[0,1], unitaire operatoren. Werkcollegeopgaven 4.20 en 4.28, huiswerk 4.27 en 4.16, inleveropgaven 4.14 en 4.24 - in te leveren op dinsdag 6 October (9:00).
6.10. Compacte verzamelingen, normequivalentie in eindige dimensie, alleen eindigdimensionale Banachruimten zijn locaalcompact, stelling van Arzelà-Ascoli. Werkcollegeopgaven 5.18 en 5.6, huiswerk 5.23 en 5.12, inleveropgaven 5.7 en 5.11 - in te leveren op dinsdag 13 October (9:00).
13.10. Stelling van Stone-Weierstraß, C(V) is separabel. L(E) is Banachalgebra, voorbeelden van begrensde operatoren: integraaloperator en shift op l^2, open mapping theorem. Werkcollegeopgaven 5.15 en 6.3, huiswerk 5.17 en 6.5, inleveropgaven 6.4 en 5.13 - in te leveren op dinsdag 20 October (9:00).
20.10. Definitie en eigenschappen spectrum. Voorbeelden en eigenschappen compacte operatoren. Werkcollegeopgaven 6.19 en 6.21, huiswerk 6.13 en 7.5, inleveropgaven 6.16 en 6.20 - in te leveren op dinsdag 27 October (9:00).
27.10. Riesz theorie, Jordan normaalvorm. Werkcollegeopgaven 7.7 en 7.8, huiswerk 7.2 en 7.12, inleveropgaven 7.15 en 7.9 - in te leveren op dinsdag 10 November (9:00). Errata (.pdf, .ps).
10.11. Approximatie van compacte operatoren door operatoren van eindige rang in Hilbertruimten, uniform boundedness principle. Werkcollegeopgaven 6.8 en 7.17, huiswerk 7.19 en 7.22, inleveropgaven 7.10 en 7.16 - in te leveren op dinsdag 17 November (9:00).
17.11. Zelfgeadjungeerde operatoren. Orthogonale invariante deelruimten, inverteerbarheid, eigenschappen spectrum, spectraalstelling voor zelfgeadjungeerde compacte operatoren. Werkcollegeopgaven 8.1 en 8.4, huiswerk 8.5 en 8.15, inleveropgaven 8.8 en 8.12 - in te leveren op dinsdag 24 November (9:00).
24.11. Integraalvergelijkingen. Fredholmalternatief, spectraalstelling, Schrödingervergelijking, vermenigvuldigingsoperator, Laplaceoperator. Werkcollegeopgaven 9.2 en 9.6, huiswerk 9.3 en 8.18, inleveropgaven 9.5 en 8.19 - in te leveren op dinsdag 1 December (9:00).
1.12. Sturm-Liouville theorie. Greense functie, spectraalstelling. Geadjungeerde operator, existentie, eigenschappen en voorbeelden. Werkcollegeopgaven 10.1 en 10.4, huiswerk 9.8 en 9.9, inleveropgaven 9.11 en 10.16(i),(ii) - in te leveren op dinsdag 8 December (9:00).
8.12. Operatoren in Hilbertruimten. Partiële isometrie, L(H) is C*-algebra, normale elementen/operatoren, spectraalstelling voor compacte normale operatoren in Hilbertruimten, functionaalrekening. Werkcollegeopgaven 10.5 en 10.16(iii),(iv), huiswerk 10.11 en 10.14, inleveropgaven 10.9 en 10.15 - in te leveren op dinsdag 15 December (9:00).
15.12. Functionaalrekening, polaire decompositie, Hilbert-Schmidt operatoren, herhaling en vragen. Werkcollegeopgaven 10.26 en 10.20, huiswerk 10.32 en 10.18, kerstopgaven (.pdf, .ps). Errata (.pdf, .ps).
Toepassingen van de functionaalanalyse op de lineaire algebra (pdf, ps).