Störungstheorie dynamischer Systeme

Heinz Hanßmann

Sommer	Zeit	Ort
Vorlesung	Donnerstag 15:45 - 17:20	Seminarraum 224.3

Geänderte Anfangszeiten ab 24. April

Beschreibung

Die Störungstheorie versucht, komplizierte Systeme als kleine Störungen von einfacheren Systemen aufzufassen und diese dann zur Beschreibung der Dynamik heranzuziehen. Dieser Ansatz ist implizit schon in den bei vielen Modellen gemachten vereinfachenden Annahmen (z.B. zur Symmetrie des Problems) vorgezeichnet. Eine mathematische Theorie, die zu einem vorgegebenen System eine leichter handhabbare Approximation konstruiert, ist die Theorie der Normalformen dynamischer Systeme. Nach einer Einführung in diese Theorie werde ich insbesondere auf quasi-periodische Bewegungen eingehen.

Einige weitere Stichworte

Reversible Systeme, Hopfverzweigung, KAM-Theorie.

Für: Studierende der Mathematik, Physik, ... , im Masterstudium.

Voraussetzungen

Gewöhnliche Differentialgleichungen mit weitergehenden Kentnissen in dynamischen Systemen wie sie aus einer entsprechenden Mathematikvorlesung und/oder aus Vorlesungen in anderen Fächern bekannt sind. Ich werde mich auf die tatsächlich vorhandenen Kentnisse sowie Wünsche der Hörer einstellen.

Literatur

V.I. Arnold

Geometrical Methods in the Theory of Ordinary Differential Equations

Springer (1983)

V.I. Arnold, V.V. Kozlov and A.I. Neishtadt

Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics

in Dynamical Systems III

Springer (1988)

H.W. Broer

Normal forms in perturbation theory

p. 6310-6329 in Encyclopedia of Complexity and System Science (ed. R.A. Meyers)

Springer (2009)

H.W. Broer, F. Dumortier, S.J. van Strien and F. Takens

Structures in dynamics

Finite-dimensional deterministic studies

North-Holland (1991)

H.W. Broer and H. Hanßmann

Perturbation theory (dynamical systems)

Scholarpedia (2008)

M.C. Ciocci, A. Litvak-Hinenzon and H.W. Broer

Survey on dissipative KAM theory including quasi-periodic bifurcation theory

Chapter 5 of Geometric Mechanics and Symmetry: the Peyresq Lectures (eds. J. Montaldi and T.S. Ratiu)

LMS Lecture Notes Series 306, Cambridge University Press (2005)

J. Guckenheimer and P. Holmes

Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields (2nd ed.)

Springer (1986)

M.W. Hirsch, C.C. Pugh and N. Shub

Invariant manifolds

Lecture Notes in Mathematics 583, Springer (1977)

Yu. Kuznetsov

Elements of applied bifurcation theory

Applied Mathematical Sciences 112, Springer (1995)

J. Moser

Stable and Random Motions in Dynamical Systems, with Special Emphasis on Celestial Mechanics

Annales of Mathematics Studies 77, Princeton University Press (1973)

M.B. Sevryuk

Reversible systems

Lecture Notes in Mathematics 1211, Springer (1986)

S. Wiggins

Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos

Texts in Applied Mathematics 2, Springer (1990)

Inhalt

Donnerstag 10. April. Allgemeine Übersicht, vereinfachende Koordinaten. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Donnerstag 17. April. Persistenz von Gleichgewichtspunkten und periodischen Bahnen, nichtresonante Normalisierung. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Donnerstag 24. April. Hyperbolische Gleichgewichtspunkte, Lie-Klammern. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Donnerstag 8. Mai. Flüsse als Transformationen, Strukturen, Hamiltonsche Vektorfelder. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Donnerstag 15. Mai. Volumenerhaltende Vektorfelder, strukturbewahrende Normalisierung, reversible Vektorfelder. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Donnerstag 22. Mai. Resonante Normalisierung, Hopfverzweigung. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Donnerstag 5. Juni. Entfallen.

Donnerstag 26. Juni. Hopfverzweigung, normal hyperbolische Mannigfaltigkeiten. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Donnerstag 3. Juli. Floquettheorie, zeitabhängige Normalisierung. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Donnerstag 10. Juli. Satz von Siegel, Diophantische Bedingungen, quasiperiodische Bewegungen und Attraktoren. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Donnerstag 17. Juli. Satz von Denjoy, Kreisabbildingen, Satz von Moser. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).