| blok 1 en 2 | tijd | plaats | hoorcollege | vrijdag 11:00 - 12:45 | BBL 107A | werkcollege | dinsdag 9:00 - 10:45 | MG 202 |
ECTS : 7.5 studiepunten
Naast R^n en C^n zijn functieruimten zoals C[0,1]
de belangrijkste voorbeelden van vectorruimten.
Hierop is nog steeds de theorie uit lineaire algebra van toepassing, maar
zodra men naast eindige lineaire combinaties ook oneindige reeksen wil
gebruiken komt de analyse om de hoek kijken.
Functionaalanalyse is een erg successvol huwelijk van deze twee gebieden,
waarmee men tal van wiskundige problemen aankan.
In deze cursus komen de beginselen van deze theorie aan de orde - wat zijn Banachruimten en Hilbertruimten en waarom zijn deze belangrijk? Hoe kan men lineaire afbeeldingen tussen oneindigdimensionale vectorruimten diagonaliseren? We zullen zien dat men met de voor eindigdimensionale vectorruimten opgebouwde intuitie een heel eind komt en waar geheel nieuwe aspecten belangrijk worden. Bij het college zal het programma van vorig jaar gevolgd worden.
Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken, bovendien zijn er iedere week twee inleveropgaven. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaven worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald (waarin het laagste resultaat niet meetelt). Het eindcijfer is dan C = max((I+M)/2, M), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen, mits op het (her)tentamen minimaal een 5 behaald is. De inleveropgaven kunnen dus alleen maar een positieve invloed hebben.
Tentamen (pdf, ps) en hertentamen (pdf, ps) gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.
Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.
14.9. Inleiding. Metriek, norm, inproduct, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
21.9. Topologie van metrische ruimten. Cauchy-rij, dekpuntstelling, Banachruimte. Deelruimte en quotientruimte. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
28.9. Lineaire afbeeldingen, duale ruimte, completering. Bestapproximatie binnen gesloten deelruimten van Hilbertruimten, orthogonale complementen van gesloten deelruimten. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
5.10. Meetkunde van Hilbertruimten. Duale ruimte van een Hilbertruimte, orthonormaalsystemen, orthonormaliseringsprocedure van Gram-Schmidt. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
12.10. Volledige orthonormaalsystemen, Fouriertheorie in L^2[0,1]. (Rij-)Compacte verzamelingen, normequivalentie in eindige dimensie. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
19.10. Compacte verzamelingen. Alleen eindigdimensionale Banachruimten zijn locaalcompact, stelling van Arzelà-Ascoli. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
26.10. Stelling van Stone-Weierstraß, separabiliteit van C(V). Begrensde operatoren. L(E) is Banachalgebra. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
2.11. Voorbeelden van begrensde operatoren: integraaloperator en shift op l^2, homomorphiestelling. Definitie spectrum, voorbeelden, compactheid. Extra opgaven (.pdf, .ps).
16.11. Eigenschappen spectrum. Definitie compacte operatoren en voorbeeld. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
23.11. Eigenschappen compacte operatoren en Riesz theorie. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
30.11. Jordan normaalvorm, approximatie van compacte operatoren door operatoren van eindige rang in Hilbertruimten. Zelfgeadjungeerde operatoren. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
7.12. Zelfgeadjungeerde compacte operatoren, spectraalstelling. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
14.12. Integraalvergelijkingen. Fredholmalternatief, spectraalstelling. Schrödingervergelijking, vermenigvuldigingsoperator. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
21.12. Sturm-Liouville theorie. Laplaceoperator, Greense functie, spectraalstelling. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
11.1. Operatoren in Hilbertruimten. Geadjungeerde operator, existentie en eigenschappen. Partiële isometrie, L(H) is C*-algebra, normale elementen/operatoren. Inleveropgaven (.pdf, .ps).
18.1. Spectraalstelling voor compacte normale operatoren in Hilbertruimten, functionaalrekening, polaire decompositie. Opgaven uit het (her)tentamen vorig jaar (.pdf, .ps).
25.1. Hilbert-Schmidt operatoren, herhaling en vragen. Extra opgaven (.pdf, .ps).