Hamiltonsche Dynamische Systeme

Heinz Hanßmann

Sommer	Zeit	Ort
Vorlesung	Freitag 11:50 - 13:25	Seminarraum 224.3

Geänderte Anfangszeiten ab 27. April


Leider bin ich zur (ersten) Vorlesung am 13. April sowie am 8. Juni verhindert. Glücklicherweise hat sich Prof. Dr. V. Enß bereitgefunden, mich für die Vorlesung am 13. April zu vertreten. Die Vorlesung vom 8. Juni wird um eine Woche auf den 1. Juni vorverlegt, also in der Pfingstwoche, zur gewohnten Zeit stattfinden.

Beschreibung

Die Hamiltonsche Formulierung der Newtonschen Mechanik stellt sich in zwei wichtigen Punkten als besonders nützlich heraus. Zum einen können die in den meisten ``klassischen'' Systemen auftretenden Symmetrien sehr effizient zur Vereinfachung des Problems herangezogen werden. Zum anderen finden sich ``in der Nähe'' von komplizierten Systemen häufig einfachere Systeme, die vollständig beschrieben werden können. Hierdurch kann man mittels der Störungstheorie auch Aussagen über das ursprüngliche Problem treffen.

Wir werden uns nach einer kurzen Einführung in die Theorie der Hamiltonschen Systeme beiden Problemkreisen ausführlich widmen. Dabei werden wir uns vornehmlich an Beispielen orientieren, insbesondere wird die nötige Theorie immer erst dann herangezogen, wenn sie auch wirklich gebraucht wird.

Einige weitere Stichworte

Systeme mit einem Freiheitsgrad, Satz von Liouville, Integrable Systeme, Normalformen, KAM-Theorie und, falls Zeit bleibt, Arnol'd-Diffusion.

Für: Studierende der Mathematik, Physik, ... , ab 4. Semester.

Voraussetzungen

Grundlagen der gewöhnlichen Differentialgleichungen wie sie z.B. aus der Analysis III oder aus der Höheren Mathematik bekannt sind.

Literatur

R. Abraham and J.E. Marsden

Foundations of Mechanics (2nd ed.)

Benjamin (1978)

V.I. Arnold

Mathematical Methods of Classical Mechanics (2nd ed.)

GTM 60, Springer (1989)

V.I. Arnold, V.V. Kozlov and A.I. Neishtadt

Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics

in Dynamical Systems III

Springer (1988)

H.W. Broer, F. Dumortier, S.J. van Strien and F. Takens

Chapter 9 of Structures in dynamics

Finite-dimensional deterministic studies

North-Holland (1991)

R.H. Cushman and L.M. Bates

Global Aspects of Classical Integrable Systems

Birkhäuser (1997)

G. Gallavotti

The elements of mechanics

Springer (1983)

V. Guillemin and S. Sternberg

Symplectic techniques in physics

Cambridge University Press (1984)

P. Liberman and C.-M. Marle

Symplectic geometry and analytical mechanics

D. Reidel (1987)

A.J. Lichtenberg and M.A. Lieberman

Regular and stochastic motion/chaotic dynamics

Springer (1983/1992)

J.E. Marsden

Lectures on mechanics

LMS Lecture Notes Series 174, Cambridge University Press (1992)

J.E. Marsden and T.S. Ratiu

Introduction to Mechanics and Symmetry

Springer (1994)

K.R. Meyer and G.R. Hall

Introduction to Hamiltonian Dynamical Systems and the $N$-Body Problem

Applied Mathematical Sciences 90, Springer (1992)

J. Montaldi and T. Ratiu

Geometric Mechanics and Symmetry: the Peyresq Lectures

LMS Lecture Notes Series 306, Cambridge University Press (2005)

P.J. Olver

Chapter 6 of Applications of Lie groups to differential equations

Springer (1986)

W. Thirring

Klassische Dynamische Systeme

Springer (1977)

F. Verhulst

Chapter 15 of Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems

Springer (1990)

Inhalt

Freitag 13. April. Allgemeine Übersicht: Newtonsche Mechanik, Lagrangesche Mechanik, Hamiltonsche Mechanik. Eindimensionales Teilchen, harmonischer Oszillator, Phasenportraits. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Freitag 20. April. Lineare Systeme, ein enharmonischer Oszillator und seine Entfaltungen. Übungsaufgaben (.pdf, .ps), Aufgabe 6 auf das nächste Übungsblatt verschoben.

Freitag 27. April. Das mathematische Pendel, Hamiltonsche Systeme auf der Sphäre S^2, Poissonstrukturen. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Freitag 4. Mai. Casimirfunktionen, Beispiele. Theorie: Hamiltonsche Flüsse erhalten die Poissonstruktur, Satz von Darboux. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Freitag 11. Mai. Aufgabenbesprechung, insbesondere Colombo's Kreisel. Sätze von Liouville und Poincaré. Übungsaufgaben (.pdf, .ps), Aufgabe 14 auf das nächste Übungsblatt verschoben.

Freitag 18. Mai. Systeme mit zwei Freiheitsgraden: Ebenes Zentralkraftfeld. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Freitag 25. Mai. Ebenes Zentralkraftfeld: Keplersystem. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Freitag 1. Juni. Sphärisches Pendel, Reduktion. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Freitag 15. Juni. Sphärisches Pendel, Rekonstruktion. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Freitag 22. Juni. Winkelwirkungsvariablen des sphärisches Pendels, gekoppelte Oszillatoren. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Freitag 29. Juni. Die Hamiltonsche Hopfverzweigung. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Freitag 6. Juli. Störungstheorie. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Freitag 13. Juli. Der Lagrangesche Kreisel. Übungsaufgaben (.pdf, .ps).

Skript (.pdf, .ps).