| blok 1 en 2 | tijd | plaats | hoorcollege | vrijdag 11:00 - 12:45 | MIN 211 | werkcollege | dinsdag 9:00 - 10:45 | BBL 471/430 |
ECTS : 7.5 studiepunten
Naast R^n en C^n zijn functieruimten zoals C[0,1]
de belangrijkste voorbeelden van vectorruimten.
Hierop is nog steeds de theorie uit lineaire algebra van toepassing, maar
zodra men naast eindige lineaire combinaties ook oneindige reeksen wil
gebruiken komt de analyse om de hoek kijken.
Functionaalanalyse is een erg successvol huwelijk van deze twee gebieden,
waarmee men tal van wiskundige problemen aankan.
In deze cursus komen de eenvoudigste vragen van deze theorie aan de orde - wat zijn Banachruimten en Hilbertruimten en waarom zijn deze belangrijk? Hoe kan men lineaire afbeeldingen tussen oneindigdimensionale vectorruimten diagonaliseren? We zullen zien dat men met de voor eindigdimensionale vectorruimten opgebouwde intuitie een heel eind komt en waar geheel nieuwe aspecten belangrijk worden. Bij het college zal het programma van vorig jaar gevolgd worden.
Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken, bovendien zijn er iedere week twee inleveropgaven. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaven worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald (waarin het laagste resultaat niet meetelt). Het eindcijfer is dan C = max((I+M)/2, M), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen; indien dit laatste niet voldoende is (zes of hoger) kan C echter niet hoger dan M+1 zijn. De inleveropgaven kunnen dus alleen maar een positieve invloed hebben.
Tentamen (pdf, ps) en hertentamen (pdf, ps) gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.
Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.
Tijdens de cursus zal ook een diktaat (.pdf, .ps) gereed komen, per hoofdstuk is bovendien aangegeven waar de behandelde stof in onderstaande boeken terug te vinden is.
12.9. Inleiding. Genormeerde ruimte, volledigheid en Banachruimte, inproduct, Hilbertruimte, Minkovskii-ongelijkheid, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
19.9. Topologie van metrische ruimten. Stelling van Baire. Quotientruimte, lineaire afbeeldingen. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
26.9. Banachruimten en lineaire operatoren. Directe som, homomorfiestelling, duale ruimte, completering. Bestapproximatie binnen gesloten deelruimten van Hilbertruimten. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
3.10. Meetkunde van Hilbertruimten. Orthogonale supplementen van gesloten deelruimten, duale ruimte van een Hilbertruimte, (complete) orthonormaalsystemen, Fouriertheorie in L^2[0,1]. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
10.10. Unitaire operatoren. (Rij-)Compacte verzamelingen, normequivalentie in eindige dimensie, alleen eindigdimensionale Banachruimten zijn locaalcompact, stelling van Arzelà-Ascoli. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
17.10. Compacte verzamelingen. Stelling van Stone-Weierstraß, C(V) is separabel. L(E) is Banachalgebra, voorbeelden van begrensde operatoren: integraaloperator en shift op l^2, open mapping theorem. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
24.10. Begrensde operatoren. Open mapping theorem, definitie spectrum, eigenschappen spectrum. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
31.10. Voorbeelden en eigenschappen compacte operatoren, Riesz theorie. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
14.11. Compacte operatoren. Jordan normaalvorm, approximatie van compacte operatoren door operatoren van eindige rang in Hilbertruimten, uniform boundedness principle. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
21.11. Zelfgeadjungeerde operatoren. Orthogonale invariante deelruimten, inverteerbarheid, eigenschappen spectrum, spectraalstelling voor zelfgeadjungeerde compacte operatoren. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
28.11. Integraalvergelijkingen. Fredholmalternatief, spectraalstelling, Schrödingervergelijking, vermenigvuldigingsoperator, Laplaceoperator. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
5.12. Sturm-Liouville theorie. Greense functie, spectraalstelling. Geadjungeerde operator, existentie en eigenschappen. Opgaven voor werkcollege en inleveropgaven (.pdf, .ps).
12.12. Operatoren in Hilbertruimten. Begrensde geadjungeerde operatoren, partiële isometrie, L(H) is C*-algebra, normale elementen/operatoren, spectraalstelling voor compacte normale operatoren in Hilbertruimten, functionaalrekening. Opgaven voor werkcollege en thuis (.pdf, .ps).
19.12. Functionaalrekening, polaire decompositie, Hilbert-Schmidt operatoren, herhaling en vragen. Opgaven uit het (her)tentamen vorig jaar (.pdf, .ps).