WISB315 : Functionaalanalyse

Heinz Hanßmann, Robin Zeeman

blok 1 en 2	tijd	plaats
hoorcollege	vrijdag 10:45 - 12:45	MI 611

ECTS : 7.5 studiepunten

Naast R^n en C^n zijn functieruimten zoals C[0,1] de belangrijkste voorbeelden van vectorruimten. Hierop is nog steeds de theorie uit lineaire algebra van toepassing, maar zodra men naast eindige lineaire combinaties ook oneindige reeksen wil gebruiken komt de analyse om de hoek kijken. Functionaalanalyse is een erg successvol huwelijk van deze twee gebieden, waarmee men tal van wiskundige problemen aankan.

In deze cursus komen de beginselen van deze theorie aan de orde - wat zijn Banachruimten en Hilbertruimten en waarom zijn deze belangrijk? Hoe kan men lineaire afbeeldingen tussen oneindigdimensionale vectorruimten diagonaliseren? We zullen zien dat men met de voor eindigdimensionale vectorruimten opgebouwde intuitie een heel eind komt en waar geheel nieuwe aspecten belangrijk worden. Bij het college zal globaal het programma worden gevolgd van de cursus 2005-2006 gegeven door Prof.dr. Richard Gill.

Wiskunde leer je het best door het zelf te beoefenen. Daarom raad ik je sterk aan om zelfstandig sommen te maken, bovendien zijn er iedere week twee inleveropgaven. Deze mogen in groepen van twee (of alleen) worden ingeleverd, als iemand per sé in een grotere groep wil werken even langskomen opdat we dit probleem kunnen oplossen. De inleveropgaven worden gecorrigeerd en er wordt een gemiddelde I bepaald (waarin het laagste resultaat niet meetelt). Het eindcijfer is dan C = max((I+M)/2, M), waar M = max(T, H) het resultaat van tentamen en hertentamen, mits op het (her)tentamen minimaal een 5 behaald is. De inleveropgaven kunnen dus alleen maar een positieve invloed hebben.

Tentamen (pdf, ps) en hertentamen (pdf, ps) gaan allebei over de inhoud van de hele cursus. Hierbij mogen boeken, cursusmateriaal en aantekeningen gebruikt worden, rekenmachines mogen niet gebruikt worden.

Deelresultaten uit de cursus van vorig jaar (ingeleverde opgaven e.d.) zijn dit jaar niet meer geldig.

Literatuur

Eigenlijk voldoet elk willekeurig boek over functionaalanalyse, wij zullen ons toch voornamelijk met die gedeelten bezig houden die in elk boek te vinden zijn. Het lijkt me dan ook voor ieder student(e) belangrijker om hetgeene boek te kiezen dat persoonlijk het meeste aanspreekt. De volgende boeken mogen op dit moment niet uit de wiskunde-bibliotheek geleend worden en zijn dus voor iedereen toegankelijk (even aan de bibliothekaresse vragen).

Karen Saxe

Beginning Functional Analysis

Springer, New York, 2002.

Eberhard Zeidler

Applied Functional Analysis

Springer, New York, 1995.

Nicholas Young

An Introduction to Hilbert space

Cambridge University Text, Cambridge, 1988/89.

Bryan P. Rynne and Martin A. Youngson

Linear Functional Analysis

Springer, London, 2000.

Jean Dieudonné

Foundations of Modern Analysis

Academic Press, New York, 1960/69.

Gerald Teschl

Functional Analysis

op de website van de auteur verkrijgbaar.

Rooster

Ik zal hier ook bijhouden in welke hoofdstukken van bovenstaande boeken de behandelde stof terug te vinden is.

15.9. Inleiding. Metriek, norm, inproduct, ongelijkheid van Cauchy-Schwarz. [Saxe]: 1.1, 1.2. [Zeidler]: 1.2, (2.1). [Young]: 1.0, 1.1, 2.0. [Rynne and Youngson]: 2.1, 3.1. [Dieudonné]: 5.1, 6.1, 6.2. [Teschl]: (1.2), 1.3. Inleveropgaven (.pdf, .ps).

22.9. Topologie van metrische ruimten. Cauchy-rij, dekpuntstelling, Banachruimte. Details (.pdf, .ps) over deelruimte en quotientruimte. [Saxe]: (2.1), 2.2, 2.3, 6.5. [Zeidler]: 1.3, 1.6. [Young]: 3.0, (2.0). [Rynne and Youngson]: (1.2), 2.3. [Dieudonné]: 3.14, 10.1, (5.4). [Teschl]: (1.1), 1.2, 1.4. Inleveropgaven (.pdf, .ps).

29.9. Lineaire afbeeldingen, duale ruimte, completering. Bestapproximatie binnen gesloten deelruimten van Hilbertruimten. [Saxe]: (5.1), 5.2, (5.4). [Zeidler]: 1.20, 1.21, 2.9. [Young]: (7.0), 7.1, 6.0, 3.1, 3.2. [Rynne and Youngson]: 4.1, 4.2, (4.3), (3.3). [Dieudonné]: 5.5, 5.7, 6.3. [Teschl]: (1.4), 1.5, (2.2). Inleveropgaven (.pdf, .ps).

6.10. Meetkunde van Hilbertruimten. Orthogonale complementen van gesloten deelruimten, duale ruimte van een Hilbertruimte, orthonormaalsystemen, orthonormaliseringsprocedure van Gram-Schmidt. [Saxe]: (5.4), 4.1, 4.2. [Zeidler]: 2.10, 2.11, 3.1, 3.3, 3.4. [Young]: 4.4, 4.0, 4.1. [Rynne and Youngson]: 3.2, 3.3, 3.4. [Dieudonné]: 6.3, 6.5, 6.6. [Teschl]: 2.1, 2.2. Inleveropgaven (.pdf, .ps).

13.10. Volledige orthonormaalsystemen, Fouriertheorie in L^2[0,1]. (Rij-)Compacte verzamelingen, Normequivalentie in eindige dimensie. [Saxe]: 4.3, (2.1). [Zeidler]: 3.2, 3.5, (1.11), 1.12. [Young]: 4.3, 5.0, 5.3, 2.1. [Rynne and Youngson]: 3.4, 3.5, (1.2), 2.2. [Dieudonné]: (6.5, 6.6), 3.16, 3.17, 7.1. [Teschl]: (2.1), 1.1. Inleveropgaven (.pdf, .ps).

20.10. Compacte verzamelingen. Alleen eindigdimensionale Banachruimten zijn lokaalcompact, stelling van Arzelà-Ascoli, stelling van Stone-Weierstraß. [Saxe]: 2.1, 6.1. [Zeidler]: 1.11, 1.26. [Young]: 5.4. [Rynne and Youngson]: (2.3), 1.2. [Dieudonné]: 5.9, 7.5, 7.3. [Teschl]: (2.4), 7.3. Inleveropgaven (.pdf, .ps).

27.10. Separabiliteit van C(V). Begrensde operatoren. L(E) is Banachalgebra, voorbeelden integraaloperator en shift op l^2, homomorphiestelling. Definitie spectrum. [Saxe]: 5.1, (5.3). [Zeidler]: (1.20), 1.23. [Young]: 7.0. [Rynne and Youngson]: 4.1, 4.3. [Dieudonné]: 7.4, (11.2). [Teschl]: (7.1). Inleveropgaven (.pdf, .ps).

3.11. Eigenschappen spectrum (.pdf, .ps). Compacte operatoren. Definitie en eigenschappen. [Saxe]: (5.3). [Zeidler]: 1.25. [Young]: 7.2, 7.5, 8.0. [Rynne and Youngson]: 4.4, 5.3, (6.1). [Dieudonné]: 11.1, 11.2. [Teschl]: 7.1, 2.4. Extra opgaven (.pdf, .ps).

17.11. Compacte operatoren II. Riesz theorie (.pdf, .ps). [Saxe]: 5.3. [Rynne and Youngson]: (6.2). [Dieudonné]: 11.3, 11.4. Inleveropgaven (.pdf, .ps).

24.11. Compacte operatoren III. Jordan normaalvorm, approximatie door operatoren van eindige rang. [Rynne and Youngson]: 6.1. Inleveropgaven (.pdf, .ps).

1.12. Compacte operatoren IV. Zelfgeadjungeerde operatoren, spectraalstelling. [Saxe]: 5.4, 5.5. [Zeidler]: 4.1, 4.2. [Young]: 7.4, 8.2. [Rynne and Youngson]: 6.3. [Dieudonné]: (11.5). [Teschl]: 2.5. Inleveropgaven (.pdf, .ps).

8.12. Integraalvergelijkingen. Fredholmalternatief, spectraalstelling. Sturm-Liouville theorie. Schrödingervergelijking. Vermenigvuldigingsoperator, Laplaceoperator. [Saxe]: (6.7). [Zeidler]: 4.3, 4.4. [Young]: (9.1), 9.2. [Rynne and Youngson]: 7.1, 7.2. [Dieudonné]: 11.6, (11.7). Inleveropgaven (.pdf, .ps).

15.12. Sturm-Liouville theorie. Greense functie, spectraalstelling. Operatoren in Hilbertruimten. Geadjungeerde operator, existentie en eigenschappen. [Saxe]: 6.7. [Zeidler]: 4.5, (5.2). [Young]: 10.0, 10.1, 11.0, (11.1), 7.3. [Rynne and Youngson]: 7.3, 7.4, 5.1. [Dieudonné]: 11.7, (11.5). [Teschl]: 0.1, 2.6, (7.2). Inleveropgaven (.pdf, .ps).

12.1. Operatoren in Hilbertruimten II. Partiële isometrie, L(H) is C*-algebra, normale elementen/operatoren, spectraalstelling. [Zeidler]: 5.2, (5.18). [Rynne and Youngson]: 5.2, 6.2. [Dieudonné]: 11.5. [Teschl]: (7.2). Inleveropgaven (.pdf, .ps).

19.1. Operatoren in Hilbertruimten III. Functionaalrekening, spectraalstelling, polaire decompositie, Hilbert-Schmidt operatoren. [Zeidler]: (5.8). [Young]: 8.1. [Rynne and Youngson]: 5.4. [Teschl]: 7.2. Extra opgaven (.pdf, .ps).

26.1. Herhaling en vragen. Overzicht over resultaten (.pdf, .ps) die niet in alle bovenstaande boeken te vinden zijn.